Question

（2013•南京二模）閱讀材料，回答問題：
如果二次函數y₁的圖象的頂點在二次函數y₂的圖象上，同時二次函數y₂的圖象的頂點在二次函數y₁的圖象上，那么我們稱y₁的圖象與y₂的圖象相伴隨．
例如：y=（x+1）²+2圖象的頂點（-1，2）在y=-（x+3）²+6的圖象上，同時y=-（x+3）²+6圖象的頂點
（-3，6）也在y=（x+1）²+2的圖象上，這時我們稱這兩個二次函數的圖象相伴隨．

（1）說明二次函數y=x²-2x-3的圖象與二次函數y=-x²+4x-7的圖象相伴隨；
（2）如圖，已知二次函數y₁=

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（x+1）²-2圖象的頂點為M，點P是x軸上一個動點，將二次函數y₁的圖象繞點P旋轉180°得到一個新的二次函數y₂的圖象，且旋轉前后的兩個函數圖象相伴隨，y₂的圖象的頂點為N．
①求二次函數y₂的關系式；
②以MN為斜邊作等腰直角△MNQ，問y軸上是否存在滿足要求的點Q？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據圖象相伴隨的定義分析結合兩函數的解析式求出頂點坐標，進而分析得出即可；
（2）①根據旋轉的性質得出這兩個函數圖象的頂點M、N關于點P對稱，即可得出N點、N′點坐標，再利用圖象過M點進而得出解析式；
②設點Q的坐標為（0，m），則MN²=32，MQ²=m²+4m+5，利用當點N�。�3，2）時，以及當點N�。�-5，2）時，分別求出即可．

解答：解：（1）二次函數y=x²-2x-3=（x-1） ²-4，圖象的頂點坐標為（1，-4），
二次函數y=-x²+4x-7=-（x-2） ²-3圖象的頂點坐標為（2，-3），
①當x=1時，y=-x²+4x-7=-4，
∴點（1，-4）二次函數y=-x²+4x-7圖象上，
②當x=2時，y=x²-2x-3=-3，
∴點（2，-3）在二次函數y=x²-2x-3圖象上，
所以，二次函數y=x²-2x-3圖象與二次函數y=-x²+4x-7圖象相伴隨．

（2）①∵旋轉前后的兩個函數圖象相伴隨，
∴y₂的圖象的頂點N必在二次函數y₁=

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（x+1）²-2圖象上，
∵y₂的圖象是二次函數y₁=

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（x+1）²-2圖象繞點P旋轉180°得到，
∴這兩個函數圖象的頂點M、N關于點P對稱，
∴如圖，y₂圖象的頂點可能位于y₁=

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（x+1）²-2圖象對稱軸的右側（點N）或左側（點N′），
分別過M、N作MA⊥x軸，NB⊥x軸，垂足分別為A、B，
∵在△APM和△BPN中，

∠MAP=∠NBP ∠APM=∠NBP MP=PN

，
∴△APM≌△BPN（AAS），
∴NB=AM=2，
同理可求，N′B′=AM=2，
當y=2時，

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（x+1）²-2=2，
解得 x₁=3，x₂=-5，
∴N（3，2），N′（-5，2），
當N是y₂圖象頂點時，
設y₂=a（x-3）²+2（a≠0），
把M（-1，-2）代入關系式，得：
a=-

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，
∴y₂=-

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（x-3）²+2，
當N′是y₂圖象頂點時，同理可求，y₂=-

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（x+5）²+2，
綜上所述，y₂=-

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（x-3）²+2或y₂=-

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（x+5）²+2，

②設點Q的坐標為（0，m），則MN²=32，MQ²=m²+4m+5，
i：當點N�。�3，2）時，NQ²=m²-4m+13，
令MQ²=NQ²，則m²+4m+5=m²-4m+13，m=1，
∴MQ²+NQ²=20≠MN²，
∴當N（3，2）時，不存在符合條件的Q點，使得△MNQ是等腰直角三角形；
ii：當點N�。�-5，2）時，NQ²=m²-4m+29，
令MQ²=NQ²，則m²+4m+5=m²-4m+29，m=3，
∴MQ²+NQ²=52≠MN²，
∴當N（-5，2）時，不存在符合條件的Q點，使得△MNQ是等腰直角三角形；
綜上所述，不存在符合條件的Q點，使得△MNQ是等腰直角三角形．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及勾股定理和全等三角形的判定與性質以及等腰直角三角形的性質等知識，利用數形結合和分類討論的思想得出是解題關鍵．