Question

如圖，已知O為坐標(biāo)原點，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且點A的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過A、B、O三點，求此二次函數(shù)的解析式；
（3）結(jié)合（1）（2）及圖象，直接寫出使一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先過B作BD⊥x軸于D，在Rt△AOB中利用含有30°角的直角三角形的性質(zhì)，易求AB，同理可求AD，結(jié)合勾股定理可求BD，從而易求點B的坐標(biāo)，然后把B、A兩點坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式，易得關(guān)于ab的二元一次方程組，解可求ab，從而可得一次函數(shù)解析式；
（2）把A、B、O三點坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，可得關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，解即可求a、b、c，從而可得二次函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)圖可知x的取值范圍．

解答：解：（1）∵A的坐標(biāo)為（2，0），
∴OA=2，
∵∠AOB=30°，∠ABO=90°，
∴AB=1，∠BAD=60°，
過B作BD⊥x軸于D，
在Rt△ABD中，AB=1，∠BAD=60°，
∴∠ABD=30°，
∴AD=

1

2

，
∴BD=

12-( 1 2 )2

=

3

2

，
∴OD=2-

1

2

=

3

2

，
∴B點的坐標(biāo)是（

3

2

，

3

2

），
設(shè)直線AB的解析式是y=ax+b，
把（2，0）（

3

2

，

3

2

）代入y=ax+b中，得

2a+b=0 3 2 a+b= 3 2

，
解得

a=- 3 b=2 3

，
∴一次函數(shù)的解析式是y=-

3

x+2

3

；
（2）把（2，0）、（

3

2

，

3

2

）、（0，0）代入二次函數(shù)y=ax²+bx+c中，得

4a+2b+c=0 9 4 a+ 3 2 b+c= 3 2 c=0

，
解得

a=- 2 3 3 b= 4 3 3 c=0

，
∴二次函數(shù)解析式是y=-

2 3

3

x2+

4 3

3

x；
（3）據(jù)圖觀察可知當(dāng)x＜

3

2

或x＞2時，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與不等式組，解題的關(guān)鍵是掌握含有30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、解方程組，并會觀察函數(shù)圖象，比較大小．