Question

如圖，矩形ABCD的兩邊長(zhǎng)AB=18cm，AD=4cm，點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，P在邊AB上沿AB方向以每秒2cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，Q在邊BC上沿BC方向以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，△PBQ的面積為y（cm²）．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（2）若△PBQ的面積為18cm²，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）求△PBQ的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）分別表示出PB、BQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可得解；
（2）利用一元二次方程的解法得出即可；
（3）把函數(shù)關(guān)系式整理成頂點(diǎn)式解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答．

解答：解：（1）∵S_△PBQ=

1

2

PB•BQ，PB=AB-AP=18-2x，BQ=x，
∴y=

1

2

（18-2x）x，
即y=-x²+9x（0＜x≤4）；       

（2）由題意得出：18=-x²+9x，
解得：x₁=3，x₂=6，
∵0＜x≤4，
∴x=3，
∴△PBQ的面積為18cm²，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3秒；

（3）由（1）知：y=-x²+9x，
∴y=-（x-

9

2

）²+

81

4

，
∵當(dāng)0＜x≤

9

2

時(shí)，y隨x的增大而增大，
而0＜x≤4，
∴當(dāng)x=4時(shí)，y_最大值=20，
即△PBQ的最大面積是20cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，根據(jù)題意表示出PB、BQ的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．