Question

22、如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，D為BC邊上的一個動點(diǎn)，E、F分別是AC、AB邊上的點(diǎn)，且DF∥AC、CE=DE．
（1）證明：四邊形DEAF是平行四邊形；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動時，（DF∥AC、CE=DE保持不變，）那么是否存在點(diǎn)D，使四邊形AFDE為菱形（不再增添輔助線），并請證明你的結(jié)論．
（這樣改動的目的是使學(xué)生明白當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動時，E、F也在運(yùn)動．）

Answer 1

分析：（1）可通過證明AF∥DE來得出結(jié)論，根據(jù)兩組相等邊，可得出∠B=∠C，∠EDC=∠C，那么∠EDC=∠B，由此可得出AF∥DE，再根據(jù)DF∥AC即可得出本題所求的結(jié)論．
（2）存在這樣的D點(diǎn)，因?yàn)槭紫華FDE是個平行四邊形，要使其成為菱形，那么AE=DE=CE，DE就是三角形ABC的中位線，那么此時D是BC的中點(diǎn)．

解答：證明：
（1）∵DF∥AC，
∴∠FDC=∠C．
又∵AB=AC，CE=DE，
∴∠B=∠C，∠EDC=∠C．
∴∠B=∠EDC．
∴DE∥AB．
又∵DF∥AC，
∴四邊形DEAF是平行四邊形．

（2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到BC的中點(diǎn)處時，四邊形DEAF是菱形；
由（1）可知：∠B=∠C，
∠EDB=∠FDC，
又∵BC=CD，
∴△BDE≌△CDF．
∴DE=DF且四邊形DEAF是平行四邊形．
∴四邊形DEAF是菱形．

點(diǎn)評：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形和菱形的判定等知識點(diǎn)．