Question

16．已知：二次函數(shù)y=x²+2mx+2n，交x軸于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)）．
（1）當(dāng)m=3時(shí)，n=4時(shí)，①求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；②將拋物線向右平移平移k個(gè)單位后交x軸于M、N（M在N的左側(cè)），若B、M三等分AN，直接寫(xiě)出k的值；
（2）當(dāng)m=1時(shí)，若線段AB上有且只有5個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù)，求n的取值范圍；
（3）記A（x₁，0）、B（x₂，0），當(dāng)m、n都是奇數(shù)時(shí)，x₁、x₂能否是有理數(shù)？若能，請(qǐng)舉例驗(yàn)證，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）①當(dāng)m=3時(shí)，n=4時(shí)，二次函數(shù)解析式為y=x²+6x+8，令y=0，解方程即可解決問(wèn)題．
②根據(jù)條件求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．
（2）由題意可知，x=1時(shí)，y＜0；x=2時(shí)，y＞0；列出不等式即可解決問(wèn)題．
（3）當(dāng)m、n都是奇數(shù)時(shí)，x₁、x₂不可能是有理數(shù)．用反證法證明即可．

解答 解：（1）當(dāng)m=3時(shí)，n=4時(shí)，二次函數(shù)解析式為y=x²+6x+8，
①令y=0得到x²+6x+8=0，解得x=-2或-4，
∴A（-4，0），B（-2，0）．
②∵拋物線向右平移平移k個(gè)單位后交x軸于M、N（M在N的左側(cè)），B、M三等分AN，AB=2，
∴AM=BM=1，
∴M（-3，0），
k=1．

（2）∵m=1時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸x=-1，
∴線段AB上有且只有5個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù)，這些整數(shù)為-3，-2，-1，0，1，
∴x=1時(shí)，y＜0；x=2時(shí)，y＞0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+2+2n＜0}\\{4+4+2n＞0}\end{array}\right.$，
解得-4＜n＜-$\frac{3}{2}$．

（3）當(dāng)m、n都是奇數(shù)時(shí)，x₁、x₂不可能是有理數(shù)．
理由：假設(shè)m、n都是奇數(shù)時(shí)，x₁、x₂是有理數(shù)，
∵x₁•x₂=2n，
∴x₁，x₂中肯定一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)，
∴x₁+x₂一定是奇數(shù)，
由題意x₁+x₂=-2m是偶數(shù)，與假設(shè)你、矛盾，
∴假設(shè)不成立，
∴當(dāng)m、n都是奇數(shù)時(shí)，x₁、x₂不可能是有理數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題、平移變換、不等式組、根與系數(shù)關(guān)系、反證法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．