Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）交x軸于A、B兩點（A點在B點左側），交y軸于點C．已知B（8，0），tan∠ABC=

1

2

，△ABC的面積為8．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若動直線EF（EF∥x軸）從點C開始，以每秒1個長度單位的速度沿y軸負方向平移，且交y軸、線段BC于E、F兩點，動點P同時從點B出發(fā)，在線段OB上以每秒2個單位的速度向原點O運動．連接FP，設運動時間t秒．當t為何值時，

EF•OP

EF+OP

的值最大，求出最大值；
（3）在滿足（2）的條件下，是否存在t的值，使以P、B、F為頂點的三角形與△ABC相似．若存在，試求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出A，B，C，三點的坐標代入拋物線y=ax²+bx+c，問題得解．
（2）利用相似三角形得到

EF•OP

EF+OP

，和t的關系式問題得解．
（3）因為相似對應的不唯一性，需要討論，分別求出滿足題意的t的值．

解答：解：（1）由題意知∠COB=90°B（8，0）OB=8，
在Rt△OBC中tan∠ABC=

OC

OB

=

1

2

OC=OB×tan∠ABC=8×

1

2

=4，
∴C（0，4），S△ABC=

1

2

AB•OC=8，
∴AB=4，
∴A（4，0）
把A、B、C三點的坐標代入y=ax²+bx+c（a＞0）得

16a+4b+c=0 64a+8b+c=0 c=4

，
解得

a= 1 8 b=- 3 2 c=4

．所以拋物線的解析式為y=

1

8

x2-

3

2

x+4；

（2）C（0，4）B（8，0）E（0，4-t）（t＞0），
OB=2OC=8CE=tBP=2tOP=8-2t，
∵EF∥OB，
∴△CEF∽△COB，
∴

CE

CO

=

EF

OB

，
則有

t

4

=

EF

8

得EF=2t，

EF•OP

EF+OP

=

2t(8-2t)

2t+8-2t

=

1

2

(4t-t2)=-

1

2

(t-2)2+2．
當t=2時

EF•OP

EF+OP

有最大值2．

（3）存在符合條件的t值，使△PBF與△ABC相似．
C（0，4），B（8，0），E（0，4-t），F(xiàn)（2t，4-t），P（8-2t，0）（t＞0），
AB=4BP=2t，BF=

(8-2t)2+(4-t)2

，
∵OC=4，
∴BC=4

5

．
①當點P與A、F與C對應，即△PBF∽△ABC，
則

BP

BA

=

BF

BC

，
代入得

2t

4

=

(8-2t)2+(4-t)2

4 5

，
解得t=

4

3

；
②當點P與C、F與A對應，即△PBF∽△CBA，
則

BP

BC

=

BF

AB

，
代入得

2t

4 5

=

(8-2t)2+(4-t)2

4

，
解得t1=

20

7

，

t2

=

20

3

（不合題意，舍去）．
綜上所述：符合條件的t=

4

3

和t=

20

7

．

點評：本題考查用一般式求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用，將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數(shù)問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．體現(xiàn)的數(shù)學思想是分類討論思想．