Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一動點（不與A，D重合），PE⊥BP，P為垂足，PE交DC于E．
（1）△ABP與△DPE是否相似？請說明理由．
（2）請你探索點P在運動過程中，四邊形ABED是否構(gòu)成矩形？如果能，求AP長；如不能，說明理由．
（3）請你探索點P在運動過程中，△BPE能否成為等腰三角形？如果能，求AP長；如不能，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，不難得出∠APB和∠DEP同為∠DPE的余角，因此∠APB=∠DEP，而所求的兩三角形中又都有一個直角，因此兩三角形相似．
（2）當四邊形ABED是矩形時，可得出AB=DE=2，AD=BE，可根據(jù)這些條件和（1）的相似三角形得出的比例關(guān)系式求出AP的長．
（3）由于△BPE是直角三角形，如果△BPE要成為等腰三角形，只有一種情況：BP=PE．可根據(jù)這個條例，聯(lián)立（1）的相似三角形得出的比例關(guān)系可求出AP的長，再利用勾股定理求出．
解答：解：（1）相似．
∵直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，PE⊥BP，
∴∠A=∠D=∠BPE=90°，
∴∠ABP+∠APB=90°，∠APB+∠DPE=90°，
∴∠ABP=∠DPE，
∴△ABP∽△DPE．

（2）能構(gòu)成矩形時，AP=1或4．理由如下：
∵∠A=∠D=90°，∠ABP+∠APB=90°，∠APB+∠DPE=90°，
∴∠ABP=∠DPE，
∴△PAB∽△EDP，
∴AP：AB=DE：DP，
∵AB=DE=2，AD=5，
∴AP²-5AP+4=0，
解得AP=1或AP=4．

（3）∵PE⊥BP，BPE只可能是等腰直角三角形，
若△BPE是等腰直角三角形，則PB=PE，
∴△ABP≌△DPE，
∴PD=AB=2，
∴AP=DE=AD-PD=3，
∴當AP=3時，△BPE是等腰三角形．
點評：考查了相似三角形的判定，矩形的判定，等腰三角形的判定等知識點，做題時學(xué)生要注意知識點之間的靈活運用．