Question

（2012•從化市一模）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD邊的中點，以O為圓心，OC長為半徑作圓，交BC邊于點E．過E作EH⊥AB，垂足為H．已知⊙O與AB邊相切，切點為F．
（1）求證：OE∥AB；
（2）求證：EH=

1

2

AB；
（3）若BH=1，EC=

3

，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰梯形的性質得出∠OEC=∠C，即可得出∠B=∠OEC，進而得出答案；
（2）利用切線的性質得出首先得出四邊形OEHF為平行四邊形，進而得出EH=

1

2

AB；
（3）根據(jù)相似三角形的判定得出△EHB∽△DEC，進而得出

DE

EH

=

EC

BH

，再利用勾股定理得出r的值即可得出答案．

解答：解：（1）證明：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．
∴AB=DC，∠B=∠C，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠C，
∴∠B=∠OEC，
∴OE∥AB；

（2）證明：連接OF，
∵⊙O與AB切于點F，
∴OF⊥AB，
∵EH⊥AB，
∴OF∥EH，
又∵OE∥AB，
∴四邊形OEHF為平行四邊形，
∴EH=OF，
連接DF、CF，
∵DC是⊙O直徑，
∴∠DFC=90°，
∵DO=OC
∴OF=

1

2

CD=

1

2

AB，
∴EH=

1

2

AB；

（3）解：連接DE，設⊙O的半徑為r，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DEC=90°，
則∠DEC=∠EHB，
又∵∠B=∠C，
∴△EHB∽△DEC，
∴

DE

EH

=

EC

BH

，
∵BH=1，EC=

3

，
∴DE=

3

EH=

3

r，
在R_t△DEC中，DE²+EC²=CD²
∴(

3

r)2+(

3

)2=(2r)2，r＞0，
解得：r=

3

，
∴⊙O的半徑為

3

．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質、平行線、等腰梯形、切線的性質及勾股定理等基礎知識，也考查了運算能力、推理能力和空間觀念．