如圖1,已知拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,且OB =" 2OA" = 4.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式;
(2)設P是(1)中拋物線上的一個動點,以P為圓心,R為半徑作⊙P,求當⊙P與拋物線的對稱軸lx軸均相切時點P的坐標.
(3)動點E從點A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度向終點B運動,動點F從點B出發(fā),以每秒個單位長度的速度向終點C運動,過點E作EG//y軸,交AC于點G(如圖2).若E、F兩點同時出發(fā),運動時間為t.則當t為何值時,△EFG的面積是△ABC的面積的
(1)拋物線為(2)滿足條件的點P的坐標為P1,)、P2,)、P3,)、P4)(3)當t = 1時,△EFG的面積是△ABC的面積的

試題分析:(1)解:∵OB=2OA=4
∴A(–2,0)、B(4,0)
由已知得:

解得:
所求拋物線為
(2)解法一:當點P在第一象限時,
過點P作PQ⊥l于Q,作PR⊥x軸于R

⊙P與x軸、直線l都相切,
∴PQ=PR
由(1)知拋物線的對稱軸l為x = 1,設P(x,
則PQ = x–1,PR =
∴x–1 = ,解得:(其中舍去)
∴PR =" PQ" = x–1=
∴P(,
同理,當點P在第二象限時,可得P(,
當點P在第三象限時,可得P(,
當點P在第四象限時,可得P(,
綜上述,滿足條件的點P的坐標為P1)、P2)、P3,)、P4
解法二:由已知得點P也在由對稱軸l及x軸所組成的角的平分線所在的直線m

當直線m過一、三、四象限時,設直線m與y軸交于N,對稱軸l與x軸交于M
由(1)知直線l為x = 1
故M(1,0)
∵∠OMN =45º=∠ONM
∴ON =" OM" = 1
∴N(0,–1)
∴直線m為:y = x–1
解方程組
得: 
∴點P的坐標為(,)或(,
當直線m經(jīng)過一、二、四象限時,
同理可得點P的坐標為(,)或(
∴點P的坐標為P1,)、P2,)、P3)、P4,
(3)解:過點F作FH⊥EG于點H,作FJ⊥x軸于J

由(1)知點C的坐標為(0,–4)
∴OB=OC=4
∵∠OBC=∠OCB = 45º
∴FJ=BJ=
∴F(4–t,t
∵AE = t,∴E(–2 + t,0)
∴A(–2,0)、C(0,–4)
∴直線AC為:y =–2x–4
把x =–2 + t代入得:y =–2t,∴G(–2 + t,–2t
∴EG = 2t,F(xiàn)H = (4–t )–(–2 + t ) = 6–2t
 


,解得, 
∵當t = 2時,G(0,–4),E(0,0),此時EG與OC重合,不合題意,舍去
∴當t = 1時,△EFG的面積是△ABC的面積的
點評:本題難度較大,主要考查學生對二次函數(shù)解決動點問題綜合運用能力,動點為中考?碱}型,要求學生注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想,培養(yǎng)綜合分析歸納能力,并運用到考試中去。
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

關于二次函數(shù)y=2x2+3,下列說法中正確的是                ( )
A.它的開口方向是向下B.當x<-1時,y隨x的增大而減小
C.它的頂點坐標是(2,3)D.當x=0時,y有最大值是3

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在直角坐標系中,⊙Py軸相切于點C,與x軸交于Ax1,0),Bx2,0)兩點,其中x1,x2是方程x2-10x+16=0的兩個根,且x1<x2,連接BC,AC.

(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使△QAC的周長最小,若存在求出點Q的坐標,若不存在,請說明理由;
(3)點M在第一象限的拋物線上,當△MBC的面積最大時,求點M的坐標.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=-x2+mx+n與x軸分別交于點A(4,0),B(-2,0),與y軸交于點C.

(1)求該拋物線的解析式;                                 
(2)M為第一象限內(nèi)拋物線上一動點,點M在何處時,△ACM的面積最大;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在這樣的點P,使得△PAC為直角三角形?若存在,請求出所有可能點P的坐標;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

拋物線的部分圖象如圖所示,若,則x的取值范圍是(    )
A.B.
C.D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

如果拋物線的開口方向向下,那么a的取值范圍是      

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

對于任意實數(shù)m、n,定義m﹡n=m-3n,則函數(shù),當0<x<3時,y的范圍為(    ).
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,
下列結(jié)論:①   ②   ③    ④    ⑤
其中正確的有(     )個
A.1B.2C.3D.4

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

某商場經(jīng)營某種品牌的童裝,購進時的單價是60元.根據(jù)市場調(diào)查,在一段時間內(nèi),銷售單價是80元時,銷售量是200件,而銷售單價每降低1元,就可多售出20件.
(1)寫出銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關系式;
(2)當銷售單價為多少元時,商場銷售該品牌童裝獲得的利潤為4000元?
(3)若童裝廠規(guī)定該品牌童裝銷售單價不低于76元,則商場銷售該品牌童裝獲得的最大利潤是多少?

查看答案和解析>>

同步練習冊答案