Question

（2006•永州）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=3，CD=7，點P是BC邊上的一動點（不與點B重合），過點D作DE⊥AP，垂足為E．
（1）求AB的長；
（2）設AP=x，DE=y，求y與x之間的函數關系式，并指出自變量x的取值范圍；
（3）延長DE交AB于點F，連接PF，當△ADE為等腰直角三角形時，求sin∠FPA的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過D作DG⊥BC，垂足為G，已知CD=7及∠C=45°，根據三角函數可求得AB的長．
（2）已知∠B=∠AED=90°，AD∥BC，得到∠DAE=∠APB，根據有兩組角相等的兩個三角形相似得到△ABP∽△DEA，從而得到對應邊成比例即，從而可得到自變量x的取值范圍．
（3）根據題意可得到AE=DE=EF，從而可求得AP、PE，根據勾股定理求得PF的長，此時再求sin∠FPA的值就不難了．
解答：解：（1）過D作DG⊥BC，垂足為G．（1分）
AB=DG=CDsinC=7×．（3分）

（2）∵∠B=∠AED=90°，AD∥BC
∴∠DAE=∠APB
∴△ABP∽△DEA（4分）
∴，，．（5分）
取值范圍是．（6分）

（3）由題意知：AE=DE=EF=ADsin45°=3=3．（7分）
∴AP==7，PE=7-3=4．（8分）
PF=，（9分）
∴sin∠FPA=．（10分）
點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定及解直角三角形的理解及運用．