如圖,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,BC=8,∠B=60°,點M是邊BC的中點,點E、F分別是邊AB、CD上的兩個動點(點E與點A、B不重合,點F與點C、D不重合),且∠EMF=120°.
(1)求證:ME=MF;
(2)試判斷當點E、F分別在邊AB、CD上移動時,五邊形AEMFD的面積的大小是否會改變,請證明你的結(jié)論;
(3)如果點E、F恰好是邊AB、CD的中點,求邊AD的長.

(1)證明:過點M分別作MG⊥AB,MH⊥CD,垂足為點G、H,
∵點M是邊BC的中點,
∴BM=CM,
∵在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,
∴∠B=∠C=60°,
又∵MG⊥AB,MH⊥CD,
∴∠BGM=∠CHM=90°,
在△BGM與△CHM中,
,
∴△BGM≌△CHM(AAS),
∴MG=MH,∠BMG=∠CMH=30°,
即得∠GMH=∠EMF=120°,
又∵∠EMF=∠EMG+∠GMF,且∠GMH=∠GMF+∠FMH,
∴∠EMG=∠FMH,
在△EGM與△FHM中,
,
△EGM≌△FHM(AAS),
∴ME=MF;

(2)解:當點E、F在邊AB、CD上移動時,五邊形AEMFD的面積的大小不會改變.
證明:∵△EGM≌△FHM,
∴S△EMG=S△FMH,
∴S五邊形AEMFD=S五邊形AGMHD;

(3)解:方法一:連接AM(在備用圖一),
當點E、F恰好是邊AB、CD的中點,且AB=CD,得BE=CF.
又∵ME=MF,BM=CM,
∴△BEM≌△CFM(SSS),
∴∠BME=∠CMF,
∵∠EMF=120°,
∴∠BME=(∠180°-∠EMF)=(180°-120°)=30°,
又∵∠B=60°,
∴∠BEM=180°-60°-30°=90°,
∵點E是邊AB的中點,
∴ME是邊AB的垂直平分線,
∴MA=MB,
∵∠B=60°,
∴△ABM是等邊三角形,
∴∠AMB=60°,
∴∠AMB=∠C.
∴AM∥CD,
又∵AD∥MC,
∴四邊形AMCD是平行四邊形,
∴AD=CM,
∵BC=8,BM=CM,
∴CM=4,
∴AD=CM=4.

方法二:當點E、F恰好是邊AB、CD的中點,且AB=CD,得BE=CF.
又∵ME=MF,BM=CM,
∴△BEM≌△CFM(SSS),
∴∠BME=∠CMF,
∵∠EMF=120°,
∴∠BME=(∠180°-∠EMF)=(180°-120°)=30°,
又∵∠B=60°,
∴∠BEM=180°-60°-30°=90°,
∵∠BME=30°,
∴BE=BM=2,
∵E是邊AB的中點,
∴AB=4,
分別過點A、D作AK⊥BC,DL⊥BC,垂足為點K、L(在備用圖二中).
∵∠B=60°,
∴BK=AB=2,
同理可得,CL=2,
∴KL=8-2-2=4,
∵AK⊥BC,DL⊥BC,AD∥BC,
∴四邊形AKLD是矩形,
∴AD=KL=4.
分析:(1)過點M作MG⊥AB,MH⊥CD,先利用角角邊證明△BGM與△CHM全等,然后根據(jù)全等三角形對應邊相等可得MG=MH,然后根據(jù)角的關(guān)系推出∠EMG=∠FMH,再利用角角邊證明△EGM與△FHM全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等即可證明ME=MF;
(2)根據(jù)(1)中結(jié)論,可知S△EMG=S△FMH,所以點E、F移動時,五邊形AEMFD的面積始終等于五邊形AGMHD的面積,不變;
(3)[方法一]連接AM,然后證明△BEM與△CFM全等,根據(jù)全等三角形對應角相等得到∠BME=∠CMF,從而推出ME是AB的垂直平分線,然后證明△ABM是等邊三角形,再根據(jù)等邊三角形的每一個角都是60°得到∠AMB=60°,然后證明四邊形AMCD是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形對邊相等即可求解AD=MC.
[方法二]或先證明出△BEM是直角三角形,根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BE的長度,從而得到AB的長度,再過點A作AK⊥BC,D作DL⊥BC,然后求出BK=LC=2,再根據(jù)四邊形AKLD是矩形即可得解.
點評:本題綜合考查了等腰梯形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),綜合性較強,仔細分析題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵,本題難度較大,對同學們能力要求較高.
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精英家教網(wǎng)如圖,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,且AC⊥BD,AC=6,則該梯形的高DE等于
 
.(結(jié)果不取近似值).

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9、如圖,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,對角線AC和BD相交于點O,E是BC邊上一個動點(E點不與B、C兩點重合),EF∥BD交AC于點F,EG∥AC交BD于點G.
(1)求證:四邊形EFOG的周長等于2 OB;
(2)請你將上述題目的條件“梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC”改為另一種四邊形,其他條件不變,使得結(jié)論“四邊形EFOG的周長等于2 OB”仍成立,并將改編后的題目畫出圖形,寫出已知、求證、不必證明.

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27、如圖,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD+BC=CD,M是AB的中點,DM,CM是否分別是∠ADC和∠DCB的平分線?說明理由.

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精英家教網(wǎng)如圖,已知在梯形ABCD中,AB∥CD,BC⊥AB,且AD⊥BD,CD=2,sinA=
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求梯形ABCD的面積.

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如圖,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,點E在邊BC上,連接DE,AC.
(1)填空:
CD
+
DE
=
CE
CE
;
BC
-
BA
=
AC
AC

(2)求作:
AB
+
AD

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