Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=10，P是AD邊上動點（不與A，D重合），⊙B是以B為圓心，BP為半徑的一個圓．
（1）如圖1，若CP與⊙B相切，求AP的長；
（2）如圖2，若經過點P的圓的切線與線段BC相交于點F，與DC的延長線相交于點E，設AP=x，CE=y，求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）若經過點P的⊙B切線與直線BC相交于點F，當CF=2時，求AP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）若CP與⊙B相切，則BP⊥PC，設AP=x，可分別在直角三角形ABP和PDC中表示出BP和CP的平方，然后在直角三角形BCP中，用勾股定理即可求出AP的長．（也可通過相似三角形ABP和DPC來求出AP的長）．
（2）本題可仿照（1）題的第二種思路進行求解．由于∠BPE=90°，易得出△ABP∽△DEP，那么可根據相似三角形得出的關于AB、AP、PD、DE的比例關系式求出y，x的函數關系式．（求x的取值范圍時，要先求出E、C重合時，x的值，求出的這兩個值之間就是x的取值范圍．其實這種情況就是題（1）所求的值．）
（3）本題要分兩種情況進行討論，思路一致．
①當F在BC上時，可在直角三角形CFE中，根據CF的長和相似三角形CEF和DEP求出CE的表達式，然后代入（2）的函數關系式中，即可求出x的值．
②當F在BC延長線上時，解法與①相同．
解答：解：（1）AP的長拋物線和直線的解析式；
設AP=x，則BP=，CP=，9+x²+9+（10-x）²=100，
解得x為1或9，則AP的長為1或9．

（2）如圖2，DE=3+y，AP=x，PD=10-x；
由∠BPE=90°，易知：△ABP∽△DPE，則有
，即，
∴y=-x²+x-3（1＜x＜9）．

（3）情況一：當1＜AP＜9時，AP=4±；
情況二：當0＜AP≤1或9≤AP＜10時，AP=6-3；
綜上所述：AP的長為4±或6-3．
點評：本題主要考查了切線的性質、相似三角形的判定和性質、二次函數的應用等知識點．
根據相似三角形來得出的對應成比例線段來求解是本題的基本思路．