Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是BC邊的中點，點P在射線AD上，過P作PF⊥AE于F，設PA=x．
（1）求證：△PFA∽△ABE；
（2）若以P，F，E為頂點的三角形也與△ABE相似，試求x的值；
（3）試求當x取何值時，以D為圓心，DP為半徑的⊙D與線段AE只有一個公共點．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據正方形的性質，結合已知條件可以證明兩個角對應相等，從而證明三角形相似；
（2）由于對應關系不確定，所以應針對不同的對應關系分情況考慮：當∠PEF=∠EAB時，則得到四邊形ABEP為矩形，從而求得x的值；當∠PEF=∠AEB時，再結合（1）中的結論，得到等腰△APE．再根據等腰三角形的三線合一得到F是AE的中點，運用勾股定理和相似三角形的性質進行求解．
（3）此題首先應針對點P的位置分為兩種大情況：點P在AD邊上時或當點P在AD的延長線上時．同時還要特別注意⊙D與線段AE只有一個公共點，不一定必須相切，只要保證和線段AE只有一個公共點即可．故求得相切時的情況和相交，但其中一個交點在線段AE外的情況即是x的取值范圍．
解答：（1）證明：∵正方形ABCD，
∴AD∥BC．（1分）
∴∠ABE=90°．
∴∠PAF=∠AEB．（1分）
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA=∠ABE=90°．（1分）
∴△PFA∽△ABE．

（2）解：情況1，當△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB時，
則有PE∥AB（1分）
∴四邊形ABEP為矩形．（1分）
∴PA=EB=2，即x=2．（2分）
情況2，當△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB時，
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF．
∴PE=PA．
∵PF⊥AE，
∴點F為AE的中點．（1分）
∵，
∴．（1分）
∵，即，
∴PE=5，即x=5．（2分）
∴滿足條件的x的值為2或5．

（3）解：

作DH⊥AE，則⊙D與線段AE的距離d即為DH的長，可得d=
當點P在AD邊上時，⊙D的半徑r=DP=4-x；
當點P在AD的延長線上時，⊙D的半徑r=DP=x-4；
如圖1時，⊙D與線段AE相切，此時d=r，即，∴；
如圖2時，⊙D與線段AE相切，此時d=r，即，∴；
如圖3時，DA=PD，則PA=x=2DA=8，
如圖4時，當PD=ED時，
∵DE==2，
∴PA=PD+AD=4+2，
∴當或或8＜x≤4+2時，⊙D與線段AE只有一個公共點．（3分）
點評：綜合運用相似三角形的判定和性質．特別注意和線段有一個公共點，不一定必須相切，也可以相交，但其中一個交點在線段外．