Question

（2013•甘井子區(qū)二模）在?ABCD中，E是AD上一點，AE=AB，過點E作直線EF，在EF上取一點G，使得∠EGB=∠EAB，連接AG．
（1）如圖1，當EF與AB相交時，若∠EAB=60°，求證：EG=AG+BG；
（2）如圖2，當EF與AB相交時，若∠EAB=α（0°＜α＜90°），請你直接寫出線段EG、AG、BG之間的數量關系（用含α的式子表示）；
（3）如圖3，當EF與CD相交時，且∠EAB=90°，請你寫出線段EG、AG、BG之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）首先作∠GAH=∠EAB交GE于點H，易證得△ABG≌△AEH，又由∠EAB=60°，可證得△AGH是等邊三角形，繼而證得結論；
（2）首先作∠GAH=∠EAB交GE于點H．作AM⊥EG于點M，易證得△ABG≌△AEH，又由∠EAB=α，易得GM=MH=AG•sin

α

2

，繼而證得結論；
（3）首先作∠GAH=∠EAB交GE于點H，易證得△ABG≌△AEH，繼而可得△AGH是等腰直角三角形，則可求得答案．

解答：（1）證明：如圖，作∠GAH=∠EAB交GE于點H．
∴∠GAB=∠HAE．
∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，
∴∠ABG=∠AEH．
在△ABG和△AEH中，

∠GAB=∠HAE AB=AE ∠ABG=∠AEH

，
∴△ABG≌△AEH（ASA）．
∴BG=EH，AG=AH．
∵∠GAH=∠EAB=60°，
∴△AGH是等邊三角形．
∴AG=HG．
∴EG=AG+BG．

（2）如圖，作∠GAH=∠EAB交GE于點H．作AM⊥EG于點M，
∴∠GAB=∠HAE．
∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，
∴∠ABG=∠AEH．
在△ABG和△AEH中，

∠GAB=∠HAE AB=AE ∠ABG=∠AEH

，
∴△ABG≌△AEH（ASA）．
∴BG=EH，AG=AH．
∵∠GAH=∠EAB=α，
∴GM=MH=

1

2

GH，∠GAM=∠HAM=

1

2

α，
∵GM=MH=AG•sin

α

2

，
∴EG=GH+BG．
∴EG=2AGsin

α

2

+BG．

（3）EG=

2

AG-BG．
如圖，作∠GAH=∠EAB交GE于點H．
∴∠GAB=∠HAE．
∵∠EGB=∠EAB=90°，
∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．
∴∠ABG=∠AEH．
∵又AB=AE，
∴△ABG≌△AEH．
∴BG=EH，AG=AH．
∵∠GAH=∠EAB=90°，
∴△AGH是等腰直角三角形．
∴

2

AG=HG．
∴EG=

2

AG-BG．

點評：此題考查了平行四邊形的性質、矩形的性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質以及三角函數等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．