Question

11．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O與AC邊交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D的直線交BC邊于點(diǎn)E，∠BDE=∠A．
（1）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若⊙O的半徑R=5，cosA=$\frac{4}{5}$，求線段CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出OD⊥DE，進(jìn)而得出答案；
（2）在Rt△ABC中根據(jù)AC=$\frac{AB}{cosA}$求得AC，在RT△ABD中由AD=ABcosA求得AD，即可得答案．

解答 解：（1）直線DE與⊙O相切．
理由如下：連接OD．

∵OA=OD
∴∠ODA=∠A
又∵∠BDE=∠A
∴∠ODA=∠BDE
∵AB是⊙O直徑
∴∠ADB=90°
即∠ODA+∠ODB=90°
∴∠BDE+∠ODB=90°
∴∠ODE=90°
∴OD⊥DE
∴DE與⊙O相切；

（2））∵R=5，
∴AB=10，
在Rt△ABC中
∵cosA=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{4}{5}$
∴AC=$\frac{AB}{cosA}$=$\frac{10}{\frac{4}{5}}$=$\frac{25}{2}$，
又∵在RT△ABD中，AD=ABcosA=10×$\frac{4}{5}$=8，
∴CD=AC-AD=$\frac{25}{2}$-8=$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了切線的判定和圓周角定理及三角函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理與切線的判定是解題的關(guān)鍵．