Question

如圖，一個半徑為r的⊙O與矩形ABCD的兩邊AB、BC都相切，BC=4．若將矩形的邊AD沿AE對折后和⊙O相切于點D′，折痕AE的長為5，則半徑r的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：由已知及折疊定理可得AD=AD'=BC=4，根據(jù)勾股定理可得D'E=3，即得DE=3，則用r表示出OE、OG及EG，再用勾股定理得出關于r的方程，從而求出半徑r的值．
解答：解：連接O與⊙O的切點F，并延長FO交CD與G，連接OD'，
∵一個半徑為r的⊙O與矩形ABCD的兩邊AB、BC都相切，BC=4．若將矩形的邊AD沿AE對折后和⊙O相切于點D′，折痕AE的長為5，
∴AD=AD'=BC=4，
DG=AF=AD'=4，
D'E===3，
DE=D'E=3，
則OG=FG-OF=BC-OF=4-r，
OE=D'O+D'E=r+3，
EG=DG-DE=4-3=1，
在直角三角形OGE中，由勾股定理得：
OE²=EG²+OG²，
即（r+3）²=1²+（4-r）²，
解得：r=，
所以半徑r的值為．
故答案為：．
點評：此題考查的知識點是切線的性質、矩形的性質即折疊定理，關鍵是根據(jù)已知和折疊定理用r表示出OE、OG及EG，再用勾股定理求出r．