Question

（2011•臨沂）如圖，已知拋物線經(jīng)過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上，且A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）P是拋物線上的第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PMx軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），且過A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得

，

解得．

故拋物線的解析式為y=x²+2x；

 

（2）①當(dāng)AE為邊時，

∵A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∴DE=AO=2，

則D在x軸下方不可能，

∴D在x軸上方且DE=2，

則D₁（1，3），D₂（﹣3，3）；

②當(dāng)AO為對角線時，則DE與AO互相平方，

因?yàn)辄c(diǎn)E在對稱軸上，

且線段AO的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣1，

由對稱性知，符合條件的點(diǎn)D只有一個，與點(diǎn)C重合，即C（﹣1，﹣1）

故符合條件的點(diǎn)D有三個，分別是D₁（1，3），D₂（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）；

（3）存在，

如上圖：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根據(jù)勾股定理得：

BO²=18，CO²=2，BC²=20，

∴BO²+CO²=BC²．

∴△BOC是直角三角形．

假設(shè)存在點(diǎn)P，使以P，M，A為頂點(diǎn)的 三角形與△BOC相似，

設(shè)P（x，y），由題意知x＞0，y＞0，且y=x²+2x，

①若△AMP∽△BOC，則=，

即 x+2=3（x²+2x）

得：x₁=，x₂=﹣2（舍去）．

當(dāng)x=時，y=，即P（，）．

②若△PMA∽△BOC，則=，

即：x²+2x=3（x+2）

得：x₁=3，x₂=﹣2（舍去）

當(dāng)x=3時，y=15，即P（3，15）．

故符合條件的點(diǎn)P有兩個，分別是P（，）或（3，15）．

解析:略