Question

已知關(guān)于x的方程x⁴+2x³+（3+k）x²+（2+k）x+2k=0有實(shí)根，并且所有實(shí)根的乘積為-2，則所有實(shí)根的平方和為______．

Answer 1

∵x⁴+2x³+（3+k）x²+（2+k）x+2k=0，
?（x⁴+2x³+x²）+[（2+k）x²+（2+k）x]+2k=0，
?x²（x²+2x+1）+（2+k）（x²+x）+2k=0，
?x²（x+1）²+（2+k）（x²+x）+2k=0，
?（x²+x）²+（2+k）（x²+x）+2k=0，
?（x²+x+2）（x²+x+k）=0，
∵x²+x+2=（x+

1

2

）²+

7

4

≠0，
∴只能是x²+x+k=0，
∵方程x⁴+2x³+（3+k）x²+（2+k）x+2k=0所有實(shí)根的乘積為-2，
∴k=-2，即原方程實(shí)根的解等價(jià)于x²+x-2=0，
∴兩實(shí)根是-2、1，
所有實(shí)根的平方和=（-2）²+1²=5．
故答案為：5．