Question

5．如圖，邊長為4cm的等邊△ABC中，點(diǎn)P、Q分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，連接AQ，CP交于點(diǎn)M，在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中．
（1）求證：△ABQ≌△CAP；
（2）∠QMC的大小是否發(fā)生變化？若無變化，求∠QMC的度數(shù)；若有變化，請(qǐng)說明理由；
（3）連接PQ，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，△PBQ是直角三角形？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理證明；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAQ=∠ACP，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)解答；
（3）分∠PQB=90°和∠PBQ=90°兩種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，
∵點(diǎn)P、Q的速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ和△CAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠ABQ=∠CAP}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△CAP；
（2）解：∠QMC的大小不發(fā)生變化，
∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠QMC=∠QAC+∠ACP=∠QAC+∠BAQ=60°；
（3）解：設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)x秒時(shí)，△PBQ是直角三角形，
則AP=BQ=x，PB=（4-x），
當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴BP=2BQ，即4-x=2x，
解得，x=$\frac{4}{3}$，
當(dāng)∠PBQ=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，即2（4-x）=x，
解得，x=$\frac{8}{3}$，
∴當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)$\frac{4}{3}$秒或$\frac{8}{3}$秒時(shí)，△PBQ是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是全等三角形的判定、直徑三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．