Question

如圖有一塊形狀是直角梯形的鐵皮ABCD，它的上底AD=3cm，下底BC=8cm，垂直于底的腰CD=6cm．現(xiàn)在要截成一個矩形鐵皮MPCN，使它的頂點(diǎn)M、P、N分別在AB、BC、CD上，當(dāng)MN多長時，矩形MPCN的面積有最大值，并請你求出這個最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值,直角梯形

專題：

分析：延長BA和CD交于O，證△ODA∽△OCB，得出

AD

BC

=

OD

OC

，求出OD=

18

5

，OC=9.6，證△ONM∽△OCB，求出CN=-1.2x+9.6，根據(jù)矩形MPCN的面積S=x（-1.2x+9.6）=-1.2（x-4）²+19.2，即可得出答案．

解答：解：
延長BA和CD交于O，
∵AD∥BC，
∴△ODA∽△OCB，
∴

AD

BC

=

OD

OC

，
∴

3

8

=

OD

0D+6

，
OD=

18

5

，
∴OC=6+

18

5

=9.6，
∵四邊形CNMP是矩形，
∴MN∥CP，
∴△ONM∽△OCB，
∴

ON

OC

=

MN

BC

，
∴

9.6-CN

9.6

=

x

8

，
∴CN=-1.2x+9.6，
∴矩形MPCN的面積S=x（-1.2x+9.6）=-1.2x²+9.6x=-1.2（x-4）²+19.2
當(dāng)MN=4cm時，面積最大．最大面積為19.2cm²．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的最值，矩形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計算的能力．