Question

（2005•湘潭）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，P為BC上一點(diǎn)．
（1）若∠APD=90°，找出圖中兩個(gè)相似的三角形，并加以證明；
（2）若AB=9，DC=4，P為BC的中點(diǎn)，∠APD=90°，求BC的長；
（3）在（2）的條件下，試探求以AD為直徑的圓與BC所在直線的位置關(guān)系，并予以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）應(yīng)該是三角形DCP和ABP，可根據(jù)等角的余角相等和一組直角來證明．
（2）根據(jù)（1）的相似三角形，可得出關(guān)于CP，PB，DC，AB的比例關(guān)系，由于，BP=PC，可求出BP的長，也就求出了BC的長．
（3）可連接圓心和P點(diǎn)，證明圓心到P的線段等于半徑的長并且與BC垂直．由于直角三角形的外接圓的圓心就是斜邊的中點(diǎn)，因此OP等于斜邊的一半也就是半徑的長，OP就是直角梯形ABCD的中位線，那么根據(jù)平行即可得出垂直．
解答：解：（1）△ABP∽△PCD．
證明：∵∠APD=90°，
∴∠DPC+∠APB=90°．
∵∠DPC+∠CDP=90°，
∴∠CDP=∠APB．
∵∠C=∠B=90°，
∴△ABP∽△PCD．

（2）∵△ABP∽△PCD，
∴CD：PC=BP：AB．
CD•AB=BP•CP=BP²=9×4=36，
∴BP=PC=6，BC=12．

（3）過D作DE⊥AB于E，
根據(jù)勾股定理AD=13．
設(shè)AD中點(diǎn)O，連接OP，
∴OP是梯形ABCD的中位線．
∴OP⊥BC．
且0P=（CD+AB）=6.5=AO．
∴以底邊AD為直徑的圓與線段BC所在的直線相切．
點(diǎn)評：本題考查直角梯形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．根據(jù)相似三角形求出BC的長是解題的關(guān)鍵．