Question

3．∠ACB=∠ADC=90°，AC=3，CD=2．當(dāng)AB的長為$\frac{9\sqrt{5}}{5}$或$\frac{9}{2}$時，這兩個直角三角形相似．

Answer 1

分析 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似．在Rt△ABC和Rt△ACD，直角邊的對應(yīng)需分情況討論．

解答 解：∵AC=3，CD=2，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$．要使這兩個直角三角形相似，有兩種情況：
（1）當(dāng)Rt△ABC∽Rt△ACD時，有$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AB}{AC}$，即$\frac{3}{\sqrt{5}}$=$\frac{AB}{3}$，
則AB=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$；
（2）當(dāng)Rt△ACB∽Rt△CDA時，有 $\frac{AC}{CD}$=$\frac{AB}{AC}$，即：$\frac{3}{2}$=$\frac{AB}{3}$，
則AB=$\frac{9}{2}$．
故當(dāng)AB的長為$\frac{9\sqrt{5}}{5}$或$\frac{9}{2}$時，這兩個直角三角形相似．
故答案是：$\frac{9\sqrt{5}}{5}$或$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查相似三角形的判定．識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計算對應(yīng)角的度數(shù)、對應(yīng)邊的比．