Question

（2013•阜寧縣一模）已知拋物線的頂點(diǎn)（-1，-4）且過點(diǎn)（0，-3），直線l是它的對(duì)稱軸．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線交x軸于點(diǎn)A、B（A在B的左邊），交y軸于點(diǎn)C，P為l上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MBC是等腰三角形？若存在，直接寫出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a（x+1）²-4，然后把點(diǎn)（0，-3）代入求出a的值，即可得解；
（2）先求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題求出點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C′，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線BC′的解析式，然后令x=-1求解即可；
（3）先根據(jù)勾股定理求出BC²，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，y），然后分MC=BC，MB=BC，MB=MC三種情況，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a（x+1）²-4，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，-3），
∴a（0+1）²-4=-3，
解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x+1）²-4；

（2）令y=0，則（x+1）²-4=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∴B（1，0），
令x=0，則（0+1）²-4=-3，
∴C（0，-3），
如圖所示，直線l的對(duì)稱軸為x=-1，
點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C′（-2，-3），
設(shè)直線BC′的解析式為y=kx+b，
則

-2k+b=-3 k+b=0

，
解得

k=1 b=-1

，
∴y=x-1，
令x=-1，則y=-1-1=-2，
點(diǎn)P（-1，-2）；

（3）∵B（1，0），C（0，-3），
∴BC²=1²+3²=10，
設(shè)點(diǎn)M（-1，y），
①M(fèi)C=BC時(shí)，MC²=1²+（y+3）²=10，
解得y=0或y=-6（M、B、C三點(diǎn)共線，舍去），
此時(shí)，點(diǎn)M₁（-1，0），
②MB=BC時(shí)，MB²=[1-（-1）]²+y²=10，
解得y=±

6

，
此時(shí)點(diǎn)M₂（-1，

6

），M₃（-1，-

6

），
③MB=MC時(shí)，[1-（-1）]²+y²=1²+（y+3）²，
解得y=-1，
此時(shí)點(diǎn)M₄（-1，-1），
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為M₁（-1，0），M₂（-1，

6

），M₃（-1，-

6

），M₄（-1，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用軸對(duì)稱確定最短路線問題，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，（3）難點(diǎn)在于要根據(jù)腰長(zhǎng)的不同進(jìn)行討論．