Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且EA=EC．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）如果∠BDC=30°，DE=2，EC=3，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CD的長(zhǎng)為2．

【解析】

（1）首先證得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性質(zhì)可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行線的判定定理可得四邊形ABCD為平行四邊形，由AD=CD可得四邊形ABCD是菱形；

（2）作EF⊥CD于F，在Rt△DEF中，根據(jù)30°的性質(zhì)和勾股定理可求出EF和DF的長(zhǎng)，在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理可求出CF的長(zhǎng)，從而可求CD的長(zhǎng).

證明：（1）在△ADE與△CDE中，

，

∴△ADE≌△CDE（SSS），

∴∠ADE=∠CDE，

∵AD∥BC，

∴∠ADE=∠CBD，

∴∠CDE=∠CBD，

∴BC=CD，

∵AD=CD，

∴BC=AD，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

∵AD=CD，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）作EF⊥CD于F.

∵∠BDC=30°，DE=2，

∴EF=1，DF=，

∵CE=3，

∴CF=2，

∴CD=2+．

.