Question

如圖1，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸于C、A兩點．將射線AM繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到射線AN．點D為AM上的動點，點B為AN上的動點，點C在∠MAN的內(nèi)部．

（1）求線段AC的長；
（2）當AM∥x軸（如圖2），且四邊形ABCD為等腰梯形時，求D的坐標．

Answer 1

解：（1）∵直線分別交x軸、y軸于C、A兩點．
∴A（0，6），C（8，0），
則在Rt△AOC中，OA=6，OC=8，
∴根據(jù)勾股定理知AC===10，即線段AC的長是10；

（2）∵AM∥x軸，點D在直線AM上，A（0，6），點C在∠MAN的內(nèi)部，
∴設D（x，6）（x＞8）．
如圖1，當AD∥BC，AB=CD時．
∵AM∥x軸，且四邊形ABCD為等腰梯形，點B在直線AN上，
∴點B為直線AN與x軸的交點．
∵∠DAB=45°，∠DAB=∠ABO（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
∴∠ABO=45°．
∴OA=OB=6，
∴AB=CD=6，即=6，
解得，x=14，或x=2（不合題意，舍去），
∴點D的坐標為（14，6）．
如圖2，當CD∥AB，AD=BC時，設直線AN與x軸交于點P．
∵AD∥PC，AP∥DC，
∴四邊形ADCP是平行四邊形，
∴PC=AD=2，
∴D點坐標是（2，6）．
綜上所述，點D的坐標為（14，6），或（2，6）．
分析：（1）因為直線分別交x軸、y軸于C、A兩點．所以分別令y=0，x=0，即可求出點C、點A的坐標，即可求出OA、OC的長度，利用勾股定理即可求出AC的長度；
（2）設D（x，6）．需要分類討論：①當AD∥BC，AB=DC時．根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)推知點B在x軸上，并且是直線AN與x軸的交點；由點A的坐標、等腰直角三角形OAB的性質(zhì)求得OB=OA=6，然后由兩點間的距離公式、等腰梯形中的等量關(guān)系A(chǔ)B=CD來求點D的橫坐標．②當CD∥AB，AD=BC時，易證四邊形ADCP是平行四邊形，所以PC=AD=2，即D點坐標是（2，6）．
點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題．解答（2）題時，注意“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學思想是應用，當x=2時，四邊形ABCD是平行四邊形，而非等腰梯形．