Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，cosB=，BC=2，點D、E、F分別在AC、AB、BC邊上，△BEF沿直線EF翻折后與△DEF重合．
（1）試問△DFC是否有可能與△ABC相似，如有可能，請求出CD的長；如不可能，請說明理由；
（2）當點D為AC的中點時，求BF的長；
（3）設CD=x，BF=y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域．

Answer 1

解：過點A作AH⊥BC，垂足為H，
∵AB=AC，∴BH=，
∴AC=AB=，

（1）△DFC有可能與△ABC相似．
設CD=x，
①當△DFC∽△ABC時，∠DFC=∠B=∠C，
∴BF=DF=CD=x，CF=2-x，
，
②當△DFC∽△BAC時，∠FDC=∠B=∠C，
∴BF=DF=CF=1，
，
∴CD的長為或；

（2）過點D作DG⊥BC，垂足為G，
∴CD=，
∴CG=，
DG===，
設BF=y，則DF=y，F(xiàn)G==，
∵DG²+FG²=DF²，
∴，
∴；

（3）與（2）同理可得：，
FG=，
，
∴函數(shù)解析式為：（0＜x＜2）．
分析：（1）分△DFC∽△ABC和△DFC∽△BAC兩種情況討論求出CD的長；
（2）過點D作DG⊥BC，垂足為G，根據(jù)翻折變換的性質、三角函數(shù)和勾股定理即可求出BF的長；
（3）與（2）同理可得y與x的函數(shù)解析式．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、勾股定理、翻折變換（折疊問題）和解直角三角形，