Question

在平面直角坐標系xOy中，點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，且AB=10，點M為線段AB的中點．
（1）如圖1，線段OM的長度為

 

；
（2）如圖2，以AB為斜邊作等腰直角三角形ACB，當點C在第一象限時，求直線OC所對應的函數的解析式；
（3）如圖3，設點D、E分別在x軸、y軸的負半軸上，且DE=10，以DE為邊在第三象限內作正方形DGFE，請求出線段MG長度的最大值，并直接寫出此時直線MG所對應的函數的解析式．

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：

分析：（1）根據直角三角形斜邊上的中線與斜邊的關系即可求解；
（2）如圖2，過點C分別作CP⊥x軸于P，CQ⊥y軸于Q．根據AAS證明△BCQ≌△ACP，根據全等三角形的性質得到CQ=CP，可設C點的坐標為（a，a）（其中a≠0）．根據待定系數法得到直線OC所對應的函數的解析式；
（3）取DE的中點N，連結ON、NG、OM．根據勾股定理可得NG=5

5

．在點M與G之間總有MG≤MO+ON+NG（如圖3），M、O、N、G四點共線，此時等號成立（如圖4）．可得線段MG取最大值10+5

5

．再根據待定系數法得到直線MG所對應的函數的解析式．

解答：解：（1）∵在Rt△OAB中，AB=10，點M為線段AB的中點，
∴線段OM的長度為5；

（2）如圖2，過點C分別作CP⊥x軸于P，CQ⊥y軸于Q．
∴∠CQB=∠CPA=90°，
∵∠QOP=90°，
∴∠QCP=90°．
∵∠BCA=90°，
∴∠BCQ=∠ACP．
∵三角形ACB是以AB為斜邊的等腰直角三角形，
∴BC=AC，
在△BCQ與△ACP中，

∠CQB=∠CPA=90° ∠BCQ=∠ACP BC=AC

∴△BCQ≌△ACP（AAS）．
∴CQ=CP．
∵點C在第一象限，
∴不妨設C點的坐標為（a，a）（其中a≠0）．
設直線OC所對應的函數解析式為y=kx，
∴a=ka，解得k=1，
∴直線OC所對應的函數解析式為y=x．

（3）取DE的中點N，連結ON、NG、OM．
∵∠AOB=90°，
∴OM=

1

2

AB=5．
同理ON=5．
∵正方形DGFE，N為DE中點，DE=10，
∴NG=

DN2+DG2

=

102+52

=5

5

．
在點M與G之間總有MG≤MO+ON+NG（如圖3），
由于∠DNG的大小為定值，只要∠DON=

1

2

∠DNG，且M、N關于點O中心對稱時，M、O、N、G四點共線，此時等號成立（如圖4）．
∴線段MG取最大值10+5

5

．
此時直線MG的解析式y=

-1+ 5

2

x．
故答案為：5．

點評：考查了一次函數綜合題，涉及的知識點有：直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，待定系數法，勾股定理，四點共線的最值問題，綜合性較強，難度較大．