Question

一天，小明在做剪紙拼圖游戲時，無意中，他把如圖所示的一張正三角形紙片和一張扇形紙片疊在一起，且正三角形的中心O恰好為扇形的圓心，接著，他把扇形繞點O轉動，…．
（1）小明思考這樣一個問題：在把扇形繞點O轉動時，兩張紙片的重疊部分面積是否一定會保持不變呢？你能幫助小明解答這一問題嗎？你若認為重疊部分面積能保持不變，請說明理由；若認為不能保持不變，請問對這兩張紙片再增加什么條件，就能使得扇形繞點O轉動過程中它們的重疊部分面積一定會保持不變？請說明理由．
（2）由這一游戲，你還能聯想到怎樣的圖形在變換過程中，也具有類似的性質？請畫出圖形，并作簡要闡述，不要求證明．

Answer 1

解：（1）兩張紙片的重疊部分面積不一定會保持不變．應增加條件“扇形紙片的圓心角∠DOE為120°”
簡證如下：連接OB、OC，因為點O是等邊△ABC的中心，所以OB、OC為角平分線，且OB=OC，可證△OGB≌△OFC，從而重疊部分面積等于△OBC的面積，即等于等邊△ABC的面積的（定值）．

（2）由這一游戲，還能聯想到如圖所示的兩個正方形：點O為正方形ABCD的對稱中心，另一正方形OEFG繞點O旋轉過程中，兩個正方形的重疊部分面積保持不變，總是正方形ABCD的面積的．
分析：（1）因為重疊部分總等于三角形面積的，可以先從三角形考慮，O為中心也就是與正三角形的中心角重合，所以應為120°，證明是要分兩種情況：即特殊和一般，特殊情況時就是猜想所用的情況，顯然成立，一般情況的證明從三角形全等把四邊形的面積分解成兩個三角形，最后再歸到正三角形的中心角為120°的三角形．
（2）利用相同的作法還可以得到點O為正方形ABCD的對稱中心，另一正方形OEFG繞點O旋轉過程中，兩個正方形的重疊部分面積保持不變，總是正方形ABCD的面積的．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質及等邊三角形的性質；猜想時從三角形考慮是解答本題的突破點，證明時一般情況的證明容易被學生忽視．