Question

（2012•楊浦區(qū)二模）如圖，在單位長(zhǎng)度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格的交點(diǎn)A、B、C．
（1）請(qǐng)完成如下操作：
①以點(diǎn)O為原點(diǎn)、網(wǎng)格邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立平面直角坐標(biāo)系；
②根據(jù)圖形提供的信息，標(biāo)出該圓弧所在圓的圓心D，并連接AD、CD．
（2）請(qǐng)?jiān)冢?）的基礎(chǔ)上，完成下列填空：
①寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)：C

（6，2）

、D

D（2，0）

；
②⊙D的半徑=

2

5

；
（3）求∠ACO的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的表示，C的坐標(biāo)即可得到，首先作出弦AB與BC的中垂線，中垂線的交點(diǎn)就是D，即可確定點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)（1）中的平面直角坐標(biāo)系直接填空；
②在直角△AOD中，利用勾股定理即可求解；
（3）連接AC、OC．過(guò)C作CH⊥AO于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥CO于點(diǎn)M．利用三角形AOC的面積等積轉(zhuǎn)換求得AM的長(zhǎng)度，然后在
Rt△AMC中利用正弦函數(shù)的定義求得∠ACO的正弦值．

解答：解：（1）直角坐標(biāo)系、點(diǎn)D的在該坐標(biāo)系中的位置如圖所示：

（2）解：①根據(jù)圖示知，C（6，2），D（2，0），
故答案為：（6，2），（2，0）；

②解：在直角△AOD中，根據(jù)勾股定理知⊙D的半徑AD=

OA2+OD2

=

42+22

=2

5

，
故答案為：2

5

；

（3）解：連接AC、OC．過(guò)C作CH⊥AO于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥CO于點(diǎn)M．
則

1

2

OA•CH=

1

2

OC•AM，即

1

2

×4×6=

1

2

×2

10

•AM，
解得，AM=

6 10

5

；
在Rt△AMC中，sin∠ACO=

AM

AC

=

6 10 5

2 10

=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題．涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形是解本題的關(guān)鍵．