Question

如圖，已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為4，⊙M是以O(shè)C為直徑的圓，現(xiàn)以O(shè)為原點(diǎn)，邊OA、OC所在的直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)B落在第四象限，一條拋物線y=ax²+bx經(jīng)過O、C兩點(diǎn)，并將拋物線的頂點(diǎn)記作P．
（1）求證：4a+b=0；
（2）當(dāng)點(diǎn)P同時(shí)在⊙M和正方形OABC的內(nèi)部時(shí)，求a的取值范圍；
（3）過A點(diǎn)作直線AD切⊙M于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．
①求E點(diǎn)的坐標(biāo)；
②如果拋物線與直線y=x-4只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)你判斷四邊形CMPE的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由正方形OABC的邊長(zhǎng)為4，拋物線y=ax²+bx經(jīng)過O、C兩點(diǎn)，可求出拋物線的對(duì)稱軸方程，再根據(jù)拋物線的解析式即可求出a、b的關(guān)系．
（2）由（1）中所求拋物線的解析式及a，b的關(guān)系可用a表示出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由圓的半徑為2，可知P點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍即可求出a的取值范圍．
（3）①由切線長(zhǎng)定理可知OA=AD，DE=CE，在Rt△ABE中由勾股定理可求出CE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
②由直線y=x-4只有一個(gè)公共點(diǎn)可解直線與拋物線組成的方程組，根據(jù)△=0可求出a的值，根據(jù)a的值求出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)C，M，P，E四點(diǎn)的作標(biāo)即可判斷出四邊形的形狀．

解答：解：
（1）∵對(duì)稱軸為直線x=2，
∴b=-4a，
∴4a+b=0；

（2）y=ax²-4ax，P（2，-4a），
∴-2＜-4a＜0，
∴0＜a＜

1

2

．

（3）①設(shè)CE=x，Rt△ABE中：4²+（4-x）²=（4+x）²，
∴x=1，
∴x=1，
∴E（4，-1）
②只有一個(gè)公共點(diǎn)可知，

y=ax2-4ax y=x-4

，
即ax²-（4a+1）x+4=0，△=16a²-8a+1=0，
解得a=

1

4

，
故P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），
故PE∥MC，PE=|2-4|=2，MC=|2-4|=2，∠MCE是直角，
∴四邊形CMPE為矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線、圓、勾股定理的綜合應(yīng)用，具有一定的區(qū)分度，但題中對(duì)二次函數(shù)、圓的知識(shí)的考查要求較低，只是將其作為一個(gè)載體，講評(píng)時(shí)應(yīng)注意：（1）要知道與拋物線的對(duì)稱軸有關(guān)；（2）實(shí)際上只需說明頂點(diǎn)縱坐標(biāo)小于0而大于-4即可；（3）的難度大，需用切長(zhǎng)定理說明AD=AO=AB=4，CE=CD，再根據(jù)勾股定理列方程進(jìn)行求解．