Question

（2012•門(mén)頭溝區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x²+2x-3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)E．點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)F且與y軸平行．一次函數(shù)y=-x+m的圖象過(guò)點(diǎn)C，交y軸于D點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)C、點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)K作x軸的垂線與直線CD交于點(diǎn)H，與拋物線交于點(diǎn)G，求線段HG長(zhǎng)度的最大值；
（3）在直線l上取點(diǎn)M，在拋物線上取點(diǎn)N，使以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）令y=0，解方程即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)定義求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)求出m的值，從而得到直線CD的解析式，然后設(shè)出點(diǎn)K的坐標(biāo)，并表示出點(diǎn)H、G的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離表示出CD，整理后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題求解；
（3）根據(jù)直線CD的解析式與拋物線的解析式分別設(shè)出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，然后分①AC是平行四邊形的邊，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等分點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)與右側(cè)兩種情況分別求出點(diǎn)N是橫坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式求出縱坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)；②AC是對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得M、N關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性求出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式求出點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，即可得解．

解答：解：（1）令y=0，則x²+2x-3=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A（-3，0），B（1，0），
∵點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，
∴C（5，0），
∵F是線段BC的中點(diǎn)，
∴F（3，0）；

（2）∵一次函數(shù)y=-x+m的圖象過(guò)點(diǎn)C（5，0）
∴-5+m=0，
解得，m=5，
∴CD的解析式是y=-x+5，
設(shè)K點(diǎn)的坐標(biāo)是（t，0），則H點(diǎn)的坐標(biāo)是（t，-t+5），G點(diǎn)的坐標(biāo)是（t，t²+2t-3），
∵K是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，∴-3≤t≤1，
HG=（-t+5）-（t²+2t-3），
=-t²-3t+8，
=-（t+

3

2

）²+

41

4

，
∵-3≤-

3

2

≤1，
∴當(dāng)t=-

3

2

時(shí)，線段HG的長(zhǎng)度有最大值是

41

4

；

（3）∵A（-3，0），C（5，0），
∴AC=5-（-3）=5+3=8，
∵直線l過(guò)點(diǎn)F且與y軸平行，
∴直線l的解析式是x=3，
∵點(diǎn)M在l上，點(diǎn)N在拋物線上，
∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（3，m），點(diǎn)N的坐標(biāo)是（n，n²+2n-3）．
①若線段AC是以A、C、M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的邊，則須MN∥AC，MN=AC=8，
（i）當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)時(shí)，MN=3-n，
3-n=8，解得n=-5，
n²+2n-3=（-5）²+2×（-5）-3=25-10-3=12，
所以，N點(diǎn)的坐標(biāo)是（-5，12）；
（ii）當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè)時(shí)，NM=n-3，
n-3=8，解得n=11，
n²+2n-3=11²+2×11-3=121+22-3=140，
所以，N點(diǎn)坐標(biāo)是（11，140）；
②若線段AC是以A、C、M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的對(duì)角線，由題意可知，點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱，
∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，點(diǎn)B（1，0），
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為-1，
n²+2n-3=（-1）²+2×（-1）-3=1-2-3=-4，
所以，N點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，-4），
綜上所述，符合條件的N點(diǎn)坐標(biāo)有（-5，12），（11，140），（-1，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，主要涉及求拋物線與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)稱，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，平行四邊形的性質(zhì)，（3）題的求解比較復(fù)雜，既要考查了AC是平行四邊形的邊，點(diǎn)N在點(diǎn)M的左右兩邊的情況，還要考慮是平行四邊形的對(duì)角線，分情況討論求解，計(jì)算時(shí)要認(rèn)真仔細(xì)．