Question

（2009•龍巖質(zhì)檢）如圖，矩形ABCD中，AB=20cm、BC=30cm，在距邊12cm、距C點(diǎn)20cm的點(diǎn)O處有一釘子．動(dòng)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P沿A→B→C方向以5cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q沿A→D方向以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)D停止運(yùn)動(dòng)．P、Q兩點(diǎn)用一條可伸縮的橡皮筋連接，設(shè)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t（s）后橡皮筋掃過的面積為y（cm²）．
（1）當(dāng)t=4時(shí)，求y的值；
（2）問：t為何值時(shí)，橡皮筋剛好接觸釘子（即P、O、Q三點(diǎn)在同一直線上）；
（3）當(dāng)4＜t≤10時(shí)，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)t=4時(shí)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度可知道此時(shí)掃過的面積是三角形，從而求出解．
（2）橡皮筋剛好接觸釘子即P、O、Q三點(diǎn)在同一直線上，根據(jù)在距邊12cm、距C點(diǎn)20cm的點(diǎn)O處有一釘子，用勾股定理可求出解．
（3）分兩種情況，以P，O，Q在一條直線上為分界線，根據(jù)得到圖形求出面積．

解答：解：（1）當(dāng)t=4時(shí)，AP=5t=4×5=20（cm）．
AQ=3t=3×4=12（cm）．
∴y=

1

2

AP•AQ=

1

2

×20×12=120（cm²）．

（2）延長EO交AD于F．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
又∵AB∥EF，∠B=90°．
∴四邊形ABEF是矩形，
∴EF=AB=20cm，
∵OE=12cm，
∴OF=20-12=8（cm）．
在Rt△EOC中，EC=

DC2-OE2

=

202-122

=16（cm）．
∴BE=30-16=14（cm）．
∴當(dāng)PQ剛好接觸點(diǎn)O時(shí)，PE=34-5t，F(xiàn)Q=3t-14，
由△PEO∽△QFO，得

PE

FQ

=

EO

FO

即，

34-5

3t-14

=

12

8

，
t=

110

19

（s）．

（3）分兩種情況：
①當(dāng)4＜t≤

110

19

，
y=S_△AOB+S_△BOP+S_△AOQ=

1

2

×20×（3t+5t-20）=80t-200；
②當(dāng)

110

19

＜t≤10時(shí)，
y=S_梯形AGOQ+S_梯形OGBP
=

1

2

AG（OG+AQ）+

1

2

BG•（GO+BP）
=

1

2

×8×（14+3t）+

1

2

×12×（14+5t-20）
=42t+20．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，梯形面積的計(jì)算，以及相似三角形的判定和性質(zhì)．