Question

（2007•自貢）△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，拋物線y=x²-2ax+b²交x軸于兩點(diǎn)M，N，交y軸于點(diǎn)P，其中M的坐標(biāo)是（a+c，0）．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）若S_△MNP=3S_△NOP，①求cosC的值；②判斷△ABC的三邊長能否取一組適當(dāng)?shù)闹�，使三角形MND（D為拋物線的頂點(diǎn)）是等腰直角三角形？如能，請求出這組值；如不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線y=x²-2ax+b²經(jīng)過點(diǎn)M（a+c，0），根據(jù)勾股定理可得△ABC為直角三角形．
（2）由S_△MNP=3S_△NOP得出MO=4ON．又可推出點(diǎn)N的坐標(biāo)，可求出a與c的等量關(guān)系式．令ED=MN=EM，可得a，b與c的關(guān)系．
解答：（1）證明：∵拋物線y=x²-2ax+b²經(jīng)過點(diǎn)M（a+c，0）
∴（a+c）²-2a（a+c）+b²=0（1分）
∴a²+2ac+c²-2a²-2ac+b²=0
∴b²+c²=a²．（5分）
由勾股定理的逆定理得：△ABC為直角三角形；（2分）

（2）解：①如圖所示；
∵S_△MNP=3S_△NOP
∴MN=3ON即MO=4ON．（5分）
又M（a+c，0）
∴（3分）
∴a+c，是方程x²-2ax+b²=0的兩根
∴3．（5分）
∴（4分）
由（1）知：在△ABC中，∠A=90°
由勾股定理得．（5分）
∴（5分）
②能．（5分）
由（1）知y=x²-2ax+b²=x²-2ax+a²-c²=（x-a）²-c²
∴頂點(diǎn)D（a，-c²）（6分）
過D作DE⊥x軸于點(diǎn)E則NE=EM，DN=DM
要使△MND為等腰直角三角形，只須ED=MN=EM．（5分）
∵M(jìn)（a+c，0）D（a，-c²）
∴DE=c²EM=c
∴c²=c又c＞0，
∴c=1（7分）
∵c=ab=a
∴a=b=．（5分）
∴當(dāng)a=，b=，c=1時(shí)，△MNP為等腰直角三角形．（8分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及等腰直角三角形的判定和三角函數(shù)的運(yùn)用，難度較大．