Question

如果（1）所示為一上面無(wú)蓋的正方體紙盒，現(xiàn)將其剪開(kāi)展成平面圖，如圖（2）所示已知展開(kāi)圖中每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1．
（1）求在該展開(kāi)圖中可畫(huà)出的最長(zhǎng)線(xiàn)段的長(zhǎng)度？這樣的線(xiàn)段可以畫(huà)幾條？
（2）求∠B′A′C′的度數(shù)？說(shuō)明理由．
（3）在圖1中若螞蟻從點(diǎn)A′沿著正方體的表面爬行到點(diǎn)C，試求爬行的最短路程．

Answer 1

解：（1）如圖2，AH=1+1+1=3，CH=1，
即最長(zhǎng)線(xiàn)段AC的長(zhǎng)度是：=，這樣的線(xiàn)段可以畫(huà)4條，如圖（2）線(xiàn)段EB′、線(xiàn)段FM、線(xiàn)段A′C′、線(xiàn)段GH；且線(xiàn)段的長(zhǎng)度都是；

（2）連接B′C′，
由圖形可知：∠A′B′F=∠C′B′F=45°，A′B′=B′C′=，
∴∠A′B′C′=90°，
即△A′B′C′是等腰直角三角形，
∴∠B′A′C′=45°；

（3）
如圖所示展開(kāi)：連接A′C，則線(xiàn)段A′C的長(zhǎng)就是螞蟻從點(diǎn)A′沿著正方體的表面爬行到點(diǎn)C的最短路程，
在Rt△A′C′C中，A′C′=1+1=2，C′C=1，∠A′C′C=90°，
由勾股定理得：A′C==．
分析：（1）根據(jù)圖形得出符合條件的線(xiàn)段有4條，根據(jù)勾股定理求出線(xiàn)段的長(zhǎng)即可；
（2）連接B′C′，根據(jù)已知正方體得出∠A′B′F=∠C′B′F=45°，A′B′=B′C′，推出△A′B′C′是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出即可；
（3）畫(huà)出圖形，連接A′C，根據(jù)勾股定理求出A′C的長(zhǎng)即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面展開(kāi)-最短路線(xiàn)問(wèn)題和勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵是能正確畫(huà)出圖形，題目比較典型，有一定的難度．