Question

【題目】在正方形ABCD中，AB＝6，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，E是AB所在直線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將線段OE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)，連接BF，直接寫出BF的長(zhǎng)為　 　；

（2）如圖2，點(diǎn)E在線段AB上，且AE＝1，連接BF，求BF的長(zhǎng)；

（3）若DG：AG＝2：1，連接CF，H是CF的中點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E使△GEH是以EG為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出EB的長(zhǎng)；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）2；（3）存在，5或或

【解析】

（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)得，再證明，得；

（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明，得，，計(jì)算的長(zhǎng)，最后利用勾股定理可得結(jié)論；

（3）先根據(jù)，且，計(jì)算，，分三種情況：①當(dāng)時(shí)，在的左側(cè)時(shí)，如圖3，作輔助線，構(gòu)建全等三角形和直角三角形，設(shè)，在中，根據(jù)，列方程可得的值，從而得的長(zhǎng)；②當(dāng)時(shí)，如圖4，同理作輔助線，設(shè)，則，證明，列比例式可得結(jié)論，其中，就是③，如圖5所示，不符合題意．

解：（1）如圖1，由旋轉(zhuǎn)得：，，

四邊形是正方形，且邊長(zhǎng)為6，

，，

，

，

，

，

故答案為：；

（2）如圖2，過作于，過作于，

四邊形是正方形，

，

，

和是等腰直角三角形，

，

，

，

，

，，

，

，，

，

，，

，

中，由勾股定理得：；

（3）存在是以為直角邊的直角三角形；

，且，

，，

分三種情況：

①當(dāng)時(shí)，在的左側(cè)時(shí)，如圖3，過作，交的延長(zhǎng)線于，過作于，交于，過作于，過作于，過作于，

設(shè)，

同理得，

，，

是的中點(diǎn)，，

，

，

，

中，，

，

，

，，

當(dāng)時(shí)，（如圖6所示），

當(dāng)時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，如圖4，過作，交的延長(zhǎng)線于，過作于，交于，過作于，過作于，

設(shè)，則，

同理得：，，，，

，，

，，

，

，

，

，即，

，

解得：（舍或5，

即；

③如圖5，當(dāng)與重合時(shí)，，此種情況不符合題意；

綜上，的長(zhǎng)是5或或．