Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（1，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）．
（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式．
（2）A、B是x軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A、B間的距離為AB=4，A在B的左邊，過A作AD⊥x軸交拋物線于D，過B作BC⊥x軸交拋物線于C．設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，0），四邊形ABCD的面積為S．
①求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
②求四邊形ABCD的最小面積，此時(shí)四邊形ABCD是什么四邊形？
③當(dāng)四邊形ABCD面積最小時(shí)，在對(duì)角線BD上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△PAE的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及這時(shí)△PAE的周長(zhǎng)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，然后把點(diǎn)（0，1）代入拋物線，可以求出拋物線的解析式．（2）①因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，0），AB=4，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t+4，0），分別把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線得到C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得到線段AD和BC的長(zhǎng)，可以用含t的式子表示直角梯形ABCD的面積．②根據(jù)①得到S關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可以求出面積最小時(shí)t的值，并確定此時(shí)四邊形的形狀．③當(dāng)四邊形ABCD的面積最小時(shí)，ABCD是正方形，點(diǎn)A點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得到CE與BD的交點(diǎn)就是點(diǎn)P，然后求出△PAE的周長(zhǎng)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）²，把點(diǎn)（0，1）代入拋物線有：1=a（0-1）²，得：a=1．
所以拋物線的解析式為：y=（x-1）²．

（2）①∵A（t，0），AB=4，且A在B的左邊，∴B（t+4，0），
當(dāng)x=t時(shí)，y=（t-1）²=t²-2t+1，∴D（t，t²-2t+1）．
當(dāng)x=t+4時(shí)，y=（t+4-1）²=t²+6t+9，∴C（t+4，t²+6t+9）．
∵四邊形ABCD是直角梯形，
∴S=

1

2

（AD+BC）×AB=

1

2

（t²-2t+1+t²+6t+9）×4=4t²+8t+20．
所以：S=4t²+8t+20．
②當(dāng)t=-

8

2×4

=-1時(shí)，四邊形ABCD的面積最小，
此時(shí)，AB=4，AD=t²-2t+1=4，BC=t²+6t+9=4，且∠BAD=∠ABC=90°，
所以ABCD是正方形．
③因?yàn)锳BCD是正方形，所以點(diǎn)A點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱，直線CE與BD的交點(diǎn)就是點(diǎn)P．
此時(shí)：A（-1，0），B（3，0），C（3，4），D（-1，4），E（1，0）．
可以求出直線CE的解析式：y=2x-2．
BD的解析式：y=-x+3．
聯(lián)立得：

y=2x-2 y=-x+3

，∴

x= 5 3 y= 4 3

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

5

3

，

4

3

）
此時(shí)△PAE的周長(zhǎng)=CE+AE=

42+22

+2=2+2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，（1）利用頂點(diǎn)式求出拋物線的解析式．（2）①結(jié)合二次函數(shù)的圖形，理解四邊形ABCD是直角梯形，利用梯形的面積公式求出S關(guān)于t的函數(shù)．②利用①中求出的二次函數(shù)的性質(zhì)，得到四邊形面積最小時(shí)t的值，并確定ABCD的形狀．③利用②的結(jié)論得到A，B，C，D的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PAE的周長(zhǎng)．