Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿B→C→D方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿A→B方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）連接PD、PQ、DQ，求當(dāng)t=1時(shí)，△PQD的面積S．
（2）試求當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)S的最小值及當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)S的最大值；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的t，使得△PQD是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接求△PQD的面積較麻煩，考慮間接求法，即割補(bǔ)法．
（2）仿照第（1）小題可求出當(dāng)P點(diǎn)在BC上時(shí)S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最小值；當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，S可直接由三角形面積公式求得，然后根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合t的取值范圍，求最大值．
（3）△PQD是等腰三角形有三種情況，需分別討論．然后根據(jù)每種情況特點(diǎn)，結(jié)合已知條件，找出關(guān)于t的相等關(guān)系，通過解方程，求出t．

解答：解：（1）如圖1，當(dāng)t=1時(shí)，AQ=1cm，BQ=4-AQ=3（cm），BP=CP=2cm．
S=S_{正方形ABCD}-S_△ADQ-S_△BPQ-S_△PCD，
=4²-

1

2

×4×1-

1

2

×2×3-

1

2

×2×4=7（cm²）．

（2）①如圖1，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，即點(diǎn)P在BC上時(shí)，
S=S_{正方形ABCD}-S_△ADQ-S_△BPQ-S_△PCD
=16-

1

2

•4•t-

1

2

•2 t•（4-t）-

1

2

•（4-2 t）•4
=t²-2 t+8．
=（t-1）²+7．
∴當(dāng)t=1時(shí)，S有最小值7．
②如圖2，當(dāng)2≤t≤4時(shí)，即點(diǎn)P在CD上時(shí)，DP=8-2 t．
S=

1

2

•（8-2 t）•4=16-4 t．
根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，S隨t的增大而減小，
∴當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值8．

（3）①如圖3，若PD=QD，則Rt△DCP≌Rt△DAQ（HL）．
∴CP=AQ．即t=4-2 t，
解得t=

4

3

．
②如圖4，若PD=PQ，則PD²=PQ²，即4²+（4-2t）²=（4-t）²+（2t）²．
解得：t=-4±4

2

，其中t=-4-4

2

＜0不合題意，舍去，
∴t=-4+4

2

．
③如圖5，若DQ=PQ，則DQ²=PQ²，
即4²+t²=（4-t）²+（2t）²．
解得t=0或t=2．
∴t=

4

3

或t=-4+4

2

或t=0或t=2時(shí)，△PQD是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了割補(bǔ)法求圖形面積，利用一次函數(shù)、二次函數(shù)求最值，全等三角形的判別與性質(zhì)，一元二次方程，等腰三角形，勾股定理，方程思想，數(shù)形結(jié)合思想等．