Question

如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，C重合），且保持AE=CF，連接DE，DF，EF．在此運(yùn)動變化過程中，有下列結(jié)論：
①△DEF是等腰直角三角形
②四邊形CEDF不可能為正方形
③四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化
④點(diǎn)C到線段EF的最大距離為
其中正確的有________（填上你認(rèn)為正確結(jié)論的所有序號）

Answer 1

①④
分析：①作常規(guī)輔助線連接CD，由SAS定理可證△CDF和△ADE全等，從而可證∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；
②當(dāng)E為AC中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CEDF為正方形；
③由割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積保持不變；
④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時(shí)，F(xiàn)E取最小值2，此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離．
解答：①連接CD；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
∵AE=CF，
∴△ADE≌△CDF；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．故此選項(xiàng)正確；
②當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDFE是正方形，故此選項(xiàng)錯誤；
③如圖2所示，分別過點(diǎn)D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于點(diǎn)M，N，
可以利用割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積，故面積保持不變；故此選項(xiàng)錯誤；
④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，
當(dāng)EF∥AB時(shí)，∵AE=CF，
∴E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，故EF是△ABC的中位線，
∴EF取最小值=2，
∵CE=CF=2，
∴此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離為 EF=．故此選項(xiàng)正確；
故正確的有①④．
故答案為：①④
點(diǎn)評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形、等腰三角形、直角三角形性質(zhì)等知識，根據(jù)圖形利用割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積是解題關(guān)鍵．