Question

14．已知A（3，2）是平面直角坐標中的一點，點B是x軸負半軸上一動點，聯(lián)結AB，并以AB為邊在x軸上方作矩形ABCD，且滿足BC：AB=1：2，設點C的橫坐標是a，如果用含a的代數(shù)式表示D點的坐標，那么D點的坐標是（2，$\frac{6-a}{2}$）．

Answer 1

分析 如圖，過C作CH⊥x軸于H，過A作AF⊥x軸于F，AG⊥y軸于G，過D作DE⊥AG于E，于是得到∠CHB=∠AFO=∠AED=90°，根據(jù)余角的性質得到∠DAE=∠FAB，推出△BCH∽△ABF，根據(jù)相似三角形的性質得到$\frac{BH}{AF}=\frac{CH}{BF}=\frac{BC}{AB}$，求得BH=$\frac{1}{2}$AF=1，CH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{-a+2}{2}$，通過△BCH≌△ADE，得到AE=BH=1，DE=CH=$\frac{-a+2}{2}$，求得EG=3-1=2，于是得到結論．

解答 解：如圖，過C作CH⊥x軸于H，過A作AF⊥x軸于F，AG⊥y軸于G，過D作DE⊥AG于E，
∴∠CHB=∠AFO=∠AED=90°，
∴∠GAF=90°，∴∠DAE=∠FAB，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠BCH=∠ABF，
∴△BCH∽△ABF，
∴$\frac{BH}{AF}=\frac{CH}{BF}=\frac{BC}{AB}$，
∵A（3，2），
∴AF=2，AG=3，
∵點C的橫坐標是a，
∴OH=-a，
∵BC：AB=1：2，
∴BH=$\frac{1}{2}$AF=1，CH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{-a+2}{2}$，
∵△BCH∽△ABF，
∴∠HBC=∠DAE，
在△BCH與△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BHC=∠DEA}\\{∠CBH=∠DAE}\\{BC=AD}\end{array}\right.$，
∴△BCH≌△ADE，
∴AE=BH=1，DE=CH=$\frac{-a+2}{2}$，
∴EG=3-1=2，
∴D（2，$\frac{6-a}{2}$）．
故答案為：（2，$\frac{6-a}{2}$）．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，坐標與圖形的性質，全等三角形的判定和性質，矩形的性質，正確的畫出圖形是解題的關鍵．