Question

問題情境
已知矩形的面積為a（a為常數(shù)，a＞0），當(dāng)該矩形的長為多少時(shí)，它的周長最小？最小值是多少？
數(shù)學(xué)模型
設(shè)該矩形的長為x，周長為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=2(x+

a

x

)(x＞0)．
探索研究
（1）我們可以借鑒學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，先探索函數(shù)y=x+

1

x

(x＞0)的圖象性質(zhì)．
1填寫下表，畫出函數(shù)的圖象：

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…								…

②觀察圖象，寫出該函數(shù)兩條不同類型的性質(zhì)；
③在求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的最大（�。┲禃r(shí)，除了通過觀察圖象，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．同樣通過配方也可以求函數(shù)y=x+

1

x

（x＞0）的最小值．y=x+

1

x

=(

x

)2+(

1 x

)2=(

x

)2+(

1 x

)2-2

x

•

1 x

+2

x

•

1 x

=(

x

-

1 x

)2+2≥2
當(dāng)

x

-

1 x

=0，即x=1時(shí)，函數(shù)y=x+

1

x

（x＞0）的最小值為2．
解決問題
（2）解決“問題情境”中的問題，直接寫出答案．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)求代數(shù)式的值的方法將x的值函數(shù)的解析式求出其值就可以了．
②根據(jù)①表中的數(shù)據(jù)畫出函數(shù)的圖象，再結(jié)合表中的數(shù)據(jù)就可以寫出圖象的相應(yīng)的性質(zhì)．
（2）由③的結(jié)論可以把x=

a

直接代入y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=2(x+

a

x

)(x＞0)就可以求出周長的最小值．

解答：解：（1）①當(dāng)x=

1

4

時(shí)，y=

17

4

，
當(dāng)x=

1

3

時(shí)，y=

10

3

，
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y=

5

2

，
當(dāng)x=1、2、3、4、時(shí)，則y值分別為：2，

5

2

，

10

3

，

17

4

．
∴函數(shù)y=x+

1

x

（x＞0）的圖象如圖．

②當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y隨x增大而減��；當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)y=x+

1

x

（x＞0）的最小值為2．

（2）由③得，當(dāng)該矩形的長為

a

時(shí)，
它的周長最小，最小值為y=2(

a

+

a

a

)=4

a

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖象的方法，二次函數(shù)最值的運(yùn)用．反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)的運(yùn)用．