Question

如圖，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD，CE相交于點(diǎn)O．試說明AE+CD=AC．

Answer 1

證明：在△ABC中，∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°．
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠OAC=∠OAB=∠BAC，∠OCD=∠OCA=∠ACB，
在△OAC中，∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）
=180°-（∠BAC+∠ACB）=180°-×120°=120°．
∴∠AOE=180°-∠AOC=180°-120°=60°．
在AC上截取AF=AE，連接OF，如圖，
在△AOE和△AOF中，AE=AF，∠OAE=∠OAF，OA=OA，
∴△AOE≌△AOF（SAS），
∴∠AOE=∠AOF，
∴∠AOF=60°．
∴∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°．
又∠COD=60°，
∴∠COD=∠COF．
在△COD和△COF中，∠COD=∠COF，OC=OC，∠OCD=∠OCF，
∴△COD≌△COF（ASA），
∴CD=CF．
又∵AF=AE，
∴AC=AF+CF=AE+CD，
即AE+CD=AC．
分析：根據(jù)△ABC中，∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA=120度．因?yàn)锳D平分∠BAC，CE平分∠ACB，可求出∠AOC=120°，∠AOE=60度．在AC上截取AF=AE，連接OF，易證△AOE≌△AOF，∠AOE=∠AOF=60°，可證△COD≌△COF，則CD=CF．因?yàn)锳F=AE，所以AC=AF+CF=AE+CD，即AE+CD=AC．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，把相關(guān)的線段劃到同一個(gè)三角形中找關(guān)系．