Question

（2009•黃石）若拋物線y=ax²+bx+3與y=-x²+3x+2的兩交點關于原點對稱，則a、b分別為    、    ．

Answer 1

【答案】分析：有交點，可讓兩個拋物線組成方程組．
解答：解：由題意可得，兩個函數有交點，則y相等，
則有ax²+bx+3=-x²+3x+2，得：（a+1）x²+（b-3）x+1=0．
∵兩交點關于原點對稱，那么兩個橫坐標的值互為相反數；兩個縱坐標的值也互為相反數．
則兩根之和為：-=0，兩根之積為＜0，
解得b=3，a＜-1．
設兩個交點坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
這兩個根都適合第二個函數解析式，那么y₁+y₂=-（x₁²+x₂²）+3 （x₁+x₂）+4=0，
∵x₁+x₂=0，
∴y₁+y₂=-（x₁+x₂）²+2x₁x₂+4=0，
解得x₁x₂=-2，
代入兩根之積得=-2，
解得a=-，
故a=-，b=3．
另法：（若交點關于原點對稱，那么在y=-x²+3x+2中，必定自身存在關于原點對稱的兩個點，設這兩個點橫坐標分別為k和-k，直接在y=-x²+3x+2代入k，然后相加兩個式子-k²+3k+2=0與-k²-3k+2=0，可得出k為±，從而直接得到兩個點，再待定系數法，將兩點代入y=ax²+bx+3，直接可以得出a，b的值．
點評：本題用到的知識點為：兩個函數有交點，那么應讓這兩個函數圖象組成方程組，而后根據根與系數的關系求解．