Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=45°，邊長為1的正方形的一個頂點D在邊AC上，與△ABC另兩邊分別交于點E、F，DE∥AB，將正方形平移，使點D保持在AC上（D不與A重合），設(shè)AF=x，正方形與△ABC重疊部分的面積為y．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍；
（2）x為何值時y的值最大？
（3）x在哪個范圍取值時y的值隨x的增大而減��？

Answer 1

（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥AB，
∴∠B=∠CED，∠AFD=∠FDE=90°，
∴∠C=∠CED，
∴DC=DE．（2分）
在Rt△ADF中，∵∠A=45°，
∴∠ADF=45°=∠A，
∴AF=DF=x，
∴AD=

x

cos45°

=

2

x，（3分）
∴DC=DE=1-

2

x，（4分）
∴y=

1

2

（DE+FB）×DF=

1

2

（1-

2

x+1-x）x=-

1

2

（

2

+1）x²+x．
∵點D保持在AC上，且D不與A重合，
∴0＜AD≤1，
∴0＜

2

x≤1，
∴0＜x≤

2

2

．
故y=-

1

2

（

2

+1）x²+x，自變量x的取值范圍是0＜x≤

2

2

；（8分）

（2）∵y=-

1

2

（

2

+1）x²+x，
∴當(dāng)x=-

1

2×(- 1 2 )( 2 +1)

=

2

-1＜

2

2

時，y有最大值；（10分）

（3）∵y=-

1

2

（

2

+1）x²+x，0＜x≤

2

2

，-

1

2

＜0，
∴當(dāng)

2

-1≤x≤

2

2

時，y隨x的增大而減小．（14分）