Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)連接，已知，且，

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)為直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，連接

①若，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在軸上，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2x-3；（2）①點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，）或（3，-3）；②點(diǎn)D坐標(biāo)為（，）．

【解析】

（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），由C點(diǎn)坐標(biāo)可得OC的長(zhǎng)，根據(jù)可求出BC的長(zhǎng)，利用勾股定理可求出OB的長(zhǎng)，即可得出點(diǎn)B坐標(biāo)，把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c，解方程組求出a、b、c的值即可得拋物線解析式；

（2）①由B、C坐標(biāo)可求出直線BC的解析式，設(shè)D（m，m2m-3），把m代入直線BC解析式可得點(diǎn)E縱坐標(biāo)，根據(jù)列方程求出m的值即可得答案；

②根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠E′CD=∠ECD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠E′CD=∠CDE，即可得出∠ECD=∠CDE，可得DE=CE，設(shè)D（n，n2n-3），則E（n，n-3），根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式列方程求出n值即可得答案．

（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

∵C（0，-3），

∴OC=3，

∵，

∴BC==5，

∴OB==4，

∴B（4，0）

∵A（-1，0），

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為y=x2x-3．

（2）設(shè)D（m，m2m-3），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

∴，

解得：，

∴直線BC的解析式為y=x-3，

∵DE //ｙ軸，

∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（m，m-3），

∵，

∴m-3-（m2m-3）=，

解得：m1=1，m2=3，

當(dāng)m=1時(shí)，m2m-3=，

當(dāng)m=3時(shí)，m2m-3=-3，

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，）或（3，-3）．

（3）如圖，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在軸上，

∴∠E′CD=∠ECD，

∵DE//y軸，

∴∠E′CD=∠CDE，

∴∠ECD=∠CDE，

∴CE=DE，

設(shè)D（n，n2n-3），則E（n，n-3），

∵C（0，-3），

∴n-3-（n2n-3）==n，

解得：n1=，n2=0（舍去），

當(dāng)n=時(shí)，n2n-3=，

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（，）．