Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點(diǎn)E是邊CD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)C、D不重合），過點(diǎn)A作AF⊥AE，交邊CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF，交邊AB于點(diǎn)G，設(shè)DE=x，BF=y。
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）如果AD=BF，求證：△AEF∽△DEA；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上移動(dòng)時(shí)，△AEG能否成為等腰三角形？如果能，請(qǐng)直接寫出線段DE的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）在矩形ABCD中，∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AD=BC=3，
即得∠D=∠ABF，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=∠BAD=90°，
又∵∠EAF=∠BAF+∠BAE，∠BAD=∠DAE+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAF，
于是，由∠D=∠ABF，∠DAE=∠BAF，
得△DAE∽△BAF，
∴，
由DE=x，BF=y，得，
即得，
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式是，0＜x＜4；
（2）∵AD=BF，AD=BC，
∴BF=BC,
在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴=1，
即得FG=EG，
于是，由∠EAF=90°，得AG=FG，
∴∠FAG=∠AFG，
∴∠AFE=∠DAE，
于是，由∠EAF=∠D，∠AFE=∠DAE，得△AEF∽△DEA；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上移動(dòng)時(shí)，△AEG能成為等腰三角形，
此時(shí)，①當(dāng)AG=EG時(shí)，DE=；
②當(dāng)AE=GE時(shí)，DE=；
③當(dāng)AG=AE時(shí)，DE=。