已知:△ABC內接于圓O,OA是半徑,AD⊥BC于D點,
求證:∠BAO=∠DAC.
證法一:過O點作OF⊥AB于E,交圓O于F點,如圖所示 ∵O為圓心,∴ ∴∠C的度數等于的度數 ∴∠O=∠C ∵AD⊥BC于D, ∴∠AEO=∠ADC=90° ∴∠BAO=∠DAC 證法二:如圖所示,延長AO交圓O于E點, 連接BE 則∠BEA=∠C ∵AO是⊙O的半徑 ∴AE為⊙O的直徑 ∴∠EBA=90° ∴∠BAO+∠BEA=90° 在△ABC中,AD⊥BC于D ∴∠C+∠DAC=90° 又∵∠C=∠BEA ∴∠BAO=∠DAC 證法三:如圖所示,延長AO交圓O于E,連接CE ∵AE是直徑,∴∠ACE=90° ∵AD⊥BC,∴∠ADB=90° ∴∠ADB=∠ACE ∵∠B=∠E,∴∠BAD=∠EAC ∵∠DAC=∠EAC-∠EAD, 且∠BAO=∠BAD-∠EAD ∴∠BAO=∠DAC 證法四:如圖所示,分別延長AO、AD交圓O于E、F點,連接EF ∵AE是直徑 ∴∠F=90°,又AD⊥BC ∴∠ADB=90° ∴EF∥BC ∴ ∴∠BAE=∠CAF,即∠BAO=∠DAC |
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