Question

如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，BD為斜邊AC上的中線，將△ABD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），得到△EFD，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，連接BE、CF．
（1）判斷BE與CF的位置、數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）若連接BF、CE，請(qǐng)直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形BCEF能形成哪些特殊四邊形；
（3）如圖2，將△ABC中AB=BC改成AB≠BC時(shí)，其他條件不變，直接寫出α為多少度時(shí)（1）中的兩個(gè)結(jié)論同時(shí)成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知條件得出BD=AD=CD．∠ADB=∠BDC=90°，再根據(jù)△ABD旋轉(zhuǎn)得到△EFD，得出∠EDB=∠FDC，從而證出△BED≌△CFD，得出BE=CF，∠DEB=∠DFC，再根據(jù)∠DNE=∠FNB，得出∠DEB+∠DNE=∠DFC+∠FNB，最后證出∠FMN=∠NDE=90°，得出FC⊥BE．
（2）根據(jù)已知條件得出四邊形BEFC是等腰梯形和正方形．
（3）根據(jù)△ABC中AB=BC改成AB≠BC，得出α=90°時(shí)（1）兩個(gè)結(jié)論同時(shí)成立．
解答：解：（1）FC=BE，F(xiàn)C⊥BE．
證明：∵∠ABC=90°，BD為斜邊AC的中線，AB=BC，
∴BD=AD=CD．∠ADB=∠BDC=90°．
∵△ABD旋轉(zhuǎn)得到△EFD，
∴∠EDB=∠FDC．
DF=BD，ED=AD=CD．
∴△BED≌△CFD．
∴BE=CF．
∴∠DEB=∠DFC．
∵∠DNE=∠FNB，
∴∠DEB+∠DNE=∠DFC+∠FNB．
∴∠FGN=∠NDE=90°．
∴FC⊥BE．

（2）等腰梯形和正方形．

如圖過F作FM∥BE交CE的延長線于M，則得出平行四邊形BFME，推出BF∥CM，即可得出等腰梯形BCEF；
當(dāng)F與A重合時(shí)，所得的四邊形是正方形，如圖：

（3）

當(dāng)α=90°（1）中的兩個(gè)結(jié)論同時(shí)成立，
∵∠BDF=∠EDC=90°，
∴∠FDC=∠BDE，
在△BDE和△FDC中，
，
∴△BDE≌△FDC，
∴BE=CF，
∠DFC=∠DBE，
∵∠DNF=∠BNM，
∴∠BMN=∠FDN=90°，
∴BE⊥CF．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)；要注意知識(shí)的綜合應(yīng)用，是一道�？碱}型．