Question

29、如圖1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN．
（1）探究BM、MN、NC之間的關(guān)系，并說明理由；
（2）若△ABC的邊長(zhǎng)為2，求△AMN的周長(zhǎng)；
（3）若點(diǎn)M、N分別是線段AB、CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變，此時(shí)（1）中的結(jié)論是否還成立，在圖2中畫出圖形，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）延長(zhǎng)AC至E，使得CE=BM并連接DE，構(gòu)造全等三角形，找到相等的線段，MD=DE，再進(jìn)一步證明△DMN≌△DEN，進(jìn)而得到MN=BM+NC．
（2）利用（1）中結(jié)論，將△AMN的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AB、AC的和來解答．
（3）按要求作出圖形，先證△BMD≌△CED，再證△MDN≌△EDN（SAS），即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）MN=BM+NC．理由如下：
延長(zhǎng)AC至E，使得CE=BM（或延長(zhǎng)AB至E，使得BE=CN），并連接DE．
∵△BDC為等腰三角形，△ABC為等邊三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
在△MBD與△ECD中，BD=CD，∠MBD=∠ECD，CE=BM，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，
∴△DMN≌△DEN，
∴MN=BM+NC．

（2）利用（1）中的結(jié)論得出：
△AMN的周長(zhǎng)=AM+MN+AN
=（AM+BM）+（NC+AN）
=2+2=4．

（3）按要求作出圖形，（1）中結(jié)論不成立，應(yīng)為MN=NC-BM．
在CA上截取CE=BM．
∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠CBD=30°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
又∵CE=BM，BD=CD，
∴△BMD≌△CED（SAS），
∴DE=DM，
又∵ND=ND，∠EDN=∠MDN，MD=ED，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=NE=NC-CE=NC-BM．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)；此題從不同角度考查了作相等線段構(gòu)造全等三角形的能力，要充分利用等邊三角形及等腰三角形的性質(zhì)，轉(zhuǎn)換各相等線段解答．