Question

如圖，過(guò)點(diǎn)P（-4，3）作x軸，y軸的垂線，分別交x軸，y軸于A、B兩點(diǎn)，交雙曲線y=

k

x

（k≥2）于E、F兩點(diǎn)．
（1）點(diǎn)E的坐標(biāo)是

 

，點(diǎn)F的坐標(biāo)是

 

；（均用含k的式子表示）
（2）判斷EF與AB的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）記S=S_△PEF-S_△OEF，S是否有最小值？若有，求出其最小值；若沒(méi)有，請(qǐng)你說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）把x=-4，y=3分別代入y=

k

x

，求出對(duì)應(yīng)的y值與x值，從而得出點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義，在Rt△PAB中與Rt△PEF中，分別求出tan∠PAB與tan∠PEF的值，然后由平行線的判定定理，得出EF與AB的位置關(guān)系；
（3）如果分別過(guò)點(diǎn)E、F作PF、PE的平行線，交點(diǎn)為P′，則四邊形PEP′F是矩形．所求面積S=S_△PEF-S_△OEF=S_△P′EF-S_△OEF=S_△OME+S_{矩形OMP′N}+S_△ONF，根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，可用含k的代數(shù)式表示S，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍確定S的最小值．

解答：解：（1）E（-4，-

k

4

），F(xiàn)（

k

3

，3）；

（2）結(jié)論EF∥AB．理由如下：
∵P（-4，3），
∴E（-4，-

k

4

），F(xiàn)（

k

3

，3），
即得PE=3+

k

4

，PF=

k

3

+4，
在Rt△PAB中，tan∠PAB=

PB

PA

=

4

3

，
在Rt△PEF中，tan∠PEF=

PF

PE

=

k 3 +4

3+ k 4

=

4

3

，
∴tan∠PAB=tan∠PEF，
∴∠PAB=∠PEF，
∴EF∥AB；

（3）S有最小值．理由如下：
分別過(guò)點(diǎn)E、F作PF、PE的平行線，交點(diǎn)為P′．
由（2）知P′（

k

3

，-

k

4

）
∵四邊形PEP′F是矩形，
∴S_△P′EF=S_△PEF，
∴S=S_△PEF-S_△OEF
=S_△P′EF-S_△OEF
=S_△OME+S_{矩形OMP′N}+S_△ONF
=

k

2

+

k2

12

+

k

2

=

k2

12

+k
=

1

12

(k+6)2-3，
又∵k≥2，此時(shí)S的值隨k值增大而增大，
∴當(dāng)k=2時(shí)，S_最小=

7

3

．
∴S的最小值是

7

3

．
故答案為：（1）（-4，-

k

4

），（

k

3

，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的定義，平行線的判定，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義及二次函數(shù)最小值的求法等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．