Question

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過：同弧或等弧所對的圓周角都相等，都等于該弧所對的圓心角的一半．請您就下面所給的圖（1）和圖（2）中，圓心O與∠BAC的位置關(guān)系，證明：∠BAC=∠BOC．

Answer 1

證明：（1）如圖（1），延長BO交⊙O于點D，連接CD，則
∠D=∠A（同弧或等弧所對的圓周角都相等），
∵OC=OD，
∴∠D=∠OCD，
∵∠BOC=∠D+∠OCD（三角形的一個外角等于與它不相等的兩個內(nèi)角的和），
∴∠BOC=2∠A，
即∠BAC=∠BOC；


（2）如圖（2），延長BO交⊙O于點E，連接CE，則
∠E=∠A（同弧或等弧所對的圓周角都相等），
∵OC=OE，
∴∠E=∠OCE，
∵∠BOC=∠E+∠OCE（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），
∴∠BOC=2∠A，
即∠BAC=∠BOC．
分析：（1）延長BO交⊙O于點D，連接CD，根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角都相等可得∠A=∠D，再根據(jù)等腰三角形的兩底角相等，∠D=∠OCD，然后利用三角形的外角性質(zhì)∠BOC=∠D+∠OCD，整理即可得證；
（2）延長BO交⊙O于點E，連接CE，根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角都相等可得∠A=∠E，再根據(jù)等腰三角形的兩底角相等，∠E=∠OCE，然后利用三角形的外角性質(zhì)∠BOC=∠E+∠OCE，整理即可得證；
點評：本題考查了圓周角定理的證明，是基礎(chǔ)題，作出輔助線找出與∠BAC相等的角，進行等量代換是解題的關(guān)鍵，方法與定理都需要熟練掌握并靈活運用．